剑指 Offer 62. 圆圈中最后剩下的数字

约瑟夫环问题

约瑟夫环问题是个著名的问题：N个人围成一圈，第一个人从1开始报数，报M的将被杀掉，下一个人接着从1开始报。如此反复，最后剩下一个，求最后的胜利者。

例如只有三个人，把他们叫做A、B、C，他们围成一圈，从A开始报数，假设报2的人被杀掉。

• 首先A开始报数，他报1。侥幸逃过一劫。
• 然后轮到B报数，他报2。非常惨，他被杀了
• C接着从1开始报数
• 接着轮到A报数，他报2。也被杀死了。
• 最终胜利者是C

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剑指 Offer 62. 圆圈中最后剩下的数字

解法

class Solution {
     
    public int lastRemaining(int n, int m)
    {
     
        int ret = 0;
        for (int i = 2; i <= n; i++)
        {
     
            ret = (ret + m) % i;
        }
        return ret;
    }
}

class Solution {
     
    public int lastRemaining(int n, int m)
    {
     
        List<Integer> list = new ArrayList<>();

        //把 0 ~ n-1 放入 list
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
     
            list.add(i);
        }

        int index = 0;
        while (n > 1)
        {
     
            index = (index + m - 1) % n;
            list.remove(index);
            n--;
        }
        return list.get(0);
    }
}

链表解法

1、用链表的方法去模拟这个过程，N个人看作是N个链表节点，节点1指向节点2，节点2指向节点3，……，节点N-1指向节点N，节点N指向节点1，这样就形成了一个环。
2、然后从节点1开始1、2、3……往下报数，每报到M，就把那个节点从环上删除。下一个节点接着从1开始报数。最终链表仅剩一个节点。它就是最终的胜利者。

代码：

public int lastRemaining(int n, int m)
    {
     
        if (1 == m)
        {
     
            return n - 1;
        }
        //构建链表
        ListNode head = new ListNode(0);
        ListNode cur = head;
        for (int i = 1; i < n; i++)
        {
     
            cur.next = new ListNode(i);
            cur = cur.next;
        }
        cur.next = head;
        //链表链接完成

        cur = head;
        int index = 0;
        //cur 必不为空
        while (cur.next != cur)
        {
     
            for (int i = 1; i < m - 1; i++)
            {
     
                cur = cur.next;
            }
            System.out.print(cur.next.val + " ");
            cur.next = cur.next.next;
            cur = cur.next;
        }
        return cur.val;
    }

缺点：
模拟整个游戏过程，时间复杂度为O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎没有办法在短时间内出结果的。

公式法

约瑟夫环是一个经典的数学问题，我们不难发现这样的依次报数，似乎有规律可循。为了方便导出递推式，我们重新定义一下题目。
问题： N个人编号为1，2，……，N，依次报数，每报到M时，杀掉那个人，求最后胜利者的编号。

递推公式：
f ( N , M ) = ( f ( N − 1 , M ) + M ) % N f(N,M)=(f(N-1,M)+M)\%N f(N,M)=(f(N−1,M)+M)%N

f ( N , M ) f(N,M) f(N,M)表示，N个人报数，每报到M时杀掉那个人，最终胜利者的编号
f ( N − 1 , M ) f(N-1,M) f(N−1,M)表示，N-1个人报数，每报到M时杀掉那个人，最终胜利者的编号
数字表示每一个人:
1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 、 10 、 11
表示11个人，他们先排成一排，假设每报到3的人被杀掉。

• 刚开始时，头一个人编号是1，从他开始报数，第一轮被杀掉的是编号3的人。
• 编号4的人从1开始重新报数，这时候我们可以认为编号4这个人是队伍的头。第二轮被杀掉的是编号6的人。
• 编号7的人开始重新报数，这时候我们可以认为编号7这个人是队伍的头。第三轮被杀掉的是编号9的人。

……

• 第九轮时，编号2的人开始重新报数，这时候我们可以认为编号2这个人是队伍的头。这轮被杀掉的是编号8的人。
• 下一个人还是编号为2的人，他从1开始报数，不幸的是他在这轮被杀掉了。

最后的胜利者是编号为7的人。