线性代数的本质——学习笔记4:9-12章

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原视频：【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集

本文是3B1B系列视频《线性代数的本质》的学习笔记第一部分——涵盖9、10、11、12章内容

9. 基变换

1. 将向量坐标看作拉伸或压缩向量的标量
   第一个元素缩放$i$，第二个缩放$j$…etc. 压缩后基和即为所求向量

2. 原点一定，对基的选择不同，导致得到的坐标系会不同
   标准坐标系

3. 转换：矩阵（基）向量乘法
   逆
   
   

4. 基变换→线性变换→基变换的逆
   $A^{-1}MA$暗示着一种数学上的转移作用
   这是一个跟M一样的变换，但是以另一种视角（基向量）来看的（在基变换后的坐标系上做变换，然后转到标准坐标系上）
   
   

10. 特征向量与特征值

1. 在线性变换中，大部分向量离开了它生成的空间
2. 线性变换的特征向量则仍留在它所张成的空间里
   矩阵对它仅作拉伸或压缩（就像一个标量：特征值衡量比例的因子）
   线性性质：特征向量张成空间内所有向量都会这样
3. 旋转轴（特征值为1）（三维空间的特征向量）
   我们过去对线性变换的描述过多依赖于特定的空间坐标系了（基坐标的变换），用特征向量和特征值其实能更好地理解线性变换
4. 计算方式：
   $Av=\lambda v=(\lambda I)v$
   $(A-\lambda I)v=0$ ①
   如果$v=0$的话上式永远成立。但是我们主要要找一个非零特征向量
   情况就是：$det(A-\lambda I)=0\Leftarrow$这是一个空间压缩
   这样算出特征值后就能代入①式求出特征向量
5. 有的线性变换没有特征向量
   有的线性变换的一个特征值对应多个特征向量（可以不在一条直线上）
6. 特征基
   基向量就是特征向量
   对角矩阵：每列是特征向量，对角上的元素是特征值
   （用对角矩阵多次左乘向量，会很好计算）
   选择能张成全空间的特征向量，用特征向量作基（基变换）A
   $A^{-1}MA$  M：原始的变换  特征基视角下的变换
   线性变换得到的结果：是对角，且对角元为对应的特征值（它所处的坐标系里的基向量只做了缩放）
   有的线性变换做不了这件事，它们的特征向量不够
   用处：矩阵幂次计算

11. 抽象向量空间

1. 有向量性质的东西
2. 函数
   1. 函数相加是逐自变量相加，向量相加是逐元素相加
   2. 数乘
   3. 线性变换/线性算子：如导数/微分算子（可加性的严格定理见本系列笔记第3章）
   4. 举例来说，以全体多项式为一个空间，可以以1，$x$，$x^2$，$x^3$…为基函数
   5. 
3. 有很多数学事物都跟向量一样（只要对象集具有合理的数乘和相加概念）
   类似向量的事物：向量空间——8条公理
   

12. 克莱姆法则，几何解释

1. $Ax=v$
   本章仅考虑非零行列式情况
   二维：输入向量与基向量分别形成的平行四边形的面积（有向）就是其x/y的值
   三维：输入向量某轴上的值，是该向量与另外两轴基向量形成的平行六面体体积
   
   
   所有面积伸缩的比例都等于给定的行列式（也就是说，变换后的面积是：$det(A)\times y（或x）$）
   所以可以这么算y：$y=\frac{Area}{\det \left(A\right)}$
   其中，$\det (A)$是可算的，而$Area$是用这个输入向量与基向量组成的新矩阵的行列式来算出来的
   克莱姆法则
2. 正交变换（旋转）：不改变点积的变换
3. 更快的解法：高斯消元法