阶乘、奇数偶数阶乘的相关公式和斯特林公式的证明

一、伽玛函数

伽玛函数的定义：，其中，。当  时，则有：

可以得出，若，则有： 

二、正弦幂的积分函数和沃利斯公式

设 ，其中，函数单调递减，。当  时，有  的递推公式：

可以得出，若 ，则有：，有此可推出：

这就推导出了沃利斯公式。

三、斯特林公式

斯特林公式是  的近似值，，下面来证明此结论。

参考上图，数列  表示曲线  与  轴之间的区域面积，则：  

数列  表示  的不足近似。它是将点  通过直线连接，计算折线与  轴之间由个梯形组成的区域的面积得到，则：

数列  表示  的过剩近似。它是先做点  的切线，然后可以得到由切线和三条直线  围成的  个梯形。这些梯形的面积，加上三角形 的面积，再加上矩形  的面积得到，则：

设数列 ，由于  单调递增且有界，故  必有极限，且可得到  的表达式：

，其中  必有极限；

将  的表达式带入沃利斯公式可得：

这就证明了斯特林公式。