阶乘、奇数偶数阶乘的相关公式和斯特林公式的证明

一、伽玛函数

伽玛函数的定义:,其中,。当  时,则有:

可以得出,若,则有: 


二、正弦幂的积分函数和沃利斯公式

设 ,其中,函数单调递减,。当  时,有  的递推公式:

可以得出,若 ,则有:,有此可推出:

这就推导出了沃利斯公式。


三、斯特林公式

斯特林公式是  的近似值,,下面来证明此结论。


阶乘、奇数偶数阶乘的相关公式和斯特林公式的证明_第1张图片

参考上图,数列  表示曲线  与  轴之间的区域面积,则:  

数列  表示  的不足近似。它是将点  通过直线连接,计算折线与  轴之间由个梯形组成的区域的面积得到,则:

数列  表示  的过剩近似。它是先做点  的切线,然后可以得到由切线和三条直线  围成的  个梯形。这些梯形的面积,加上三角形 的面积,再加上矩形  的面积得到,则:


设数列 ,由于  单调递增且有界,故  必有极限,且可得到  的表达式:

,其中  必有极限;

将  的表达式带入沃利斯公式可得:

\lim_{n \to \infty} (\frac{2^{2n} E_n^2 (\frac{n}{e})^{2n} n}{E_{2n} (\frac{2n}{e})^{2n} \sqrt{2n}})^2 \frac{1}{2n+1} = (\lim_{x \to \infty} E_n)^2 \lim_{x \to \infty} \frac{n}{2(2n+1)}= \frac{\pi}{2}

这就证明了斯特林公式。

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