Python3 趣味系列题8 ------ 凸包动态绘制

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本文介绍利用Graham Scan算法获得凸包(平面凸包)，并动态展示凸包的形成过程。下面用比较通俗的语言，介绍下凸包：在一个二维坐标平面中，散列着一些点，将最外层的点连接起来构成的凸多边型，它能包含散列的所有的点，这个多边形就是这些点构成的点集的凸包。

下面给出几个示例图：

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其中图1、图2均不是凸包，因为图1中的凸多边形没有包含点集中所有的点；图2的多边形虽然包含了所有的点，但不是凸多边形。只有图3中的多边形是凸包，既是凸的又包含了所有的点。

下面介绍Graham Scan算法：

• 获得参考点P0：参考点就是所有点中，纵坐标最小的点，如果这样的点有多个，则把这些点中横坐标最小的点作为参考点。可知这个参考点肯定在凸包上。

• 点逆时针排序：

1. 首先将参考点P0的坐标转换为原点，其他的点也按照上述规则转换到相应的点；
2. 计算其他的点与原点构成的向量中，纵坐标除以横坐标的商，将商值分为大于等于0，无穷，小于0三部分。
   • 2. 1 大于等于0的部分，首先按值从小到大对点进行排序，相同不为0的按着纵坐标的升序排列，相同为0的按照横坐标的升序排列。
   • 2.2 无穷的部分，如果大于等于0的部分为空集，则按照纵坐标的升序排列；如果不为空，则按照纵坐标的降序排列；
   • 2.3 小于0的部分，首先按值从小到大进行排序，相同值的按照纵坐标的降序排列；
3. 最终按大于等于0的部分，无穷的部分，小于0的部分排列，获得的点的序列就是按照逆时针排列的；下面给出示意图，点是根据逆时针的排列顺序进行编号的。

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• 开始构建凸包：

1. 序列中的参考点P0，以及与其相邻的2个点肯定都在凸包上；
2. 假设相邻的三个点分别是P0、P1、P2，

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3. 从序列中的第三个点开始遍历，按照上面的公式计算向量的叉积，如果叉积小于等于0，说明截止到目前这个的点，是凸的，将这个点加入到凸点序列中。如果大于0，说明三个点中间的点是凹进去的。然后将其在凸点序列中删除，然后在计算此时凸点序列最后面三个点的叉积，直到叉积不小于0停止。

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下面给出生成凸包的示意图：

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