信息论，熵，KL散度，交叉熵

信息论
交叉熵是信息论中的一个概念，要想了解交叉熵的本质，需要先从最基本的概念讲起。

1 信息量
首先是信息量。假设我们听到了两件事，分别如下：
事件A：巴西队进入了2018世界杯决赛圈。
事件B：中国队进入了2018世界杯决赛圈。
仅凭直觉来说，显而易见事件B的信息量比事件A的信息量要大。究其原因，是因为事件A发生的概率很大，事件B发生的概率很小。所以当越不可能的事件发生了，我们获取到的信息量就越大。越可能发生的事件发生了，我们获取到的信息量就越小。那么信息量应该和事件发生的概率有关。

假设XX是一个离散型随机变量，其取值集合为χχ,概率分布函数p(x)=Pr(X=x),x∈χp(x)=Pr(X=x),x∈χ,则定义事件X=x0X=x0的信息量为：

I(x0)=−log(p(x0))
I(x0)=−log(p(x0))

由于是概率所以p(x0)p(x0)的取值范围是[0,1][0,1],绘制为图形如下：

可见该函数符合我们对信息量的直觉
2 熵
考虑另一个问题，对于某个事件，有nn种可能性，每一种可能性都有一个概率p(xi)p(xi)
这样就可以计算出某一种可能性的信息量。举一个例子，假设你拿出了你的电脑，按下开关，会有三种可能性，下表列出了每一种可能的概率及其对应的信息量

序号 事件 概率p 信息量I
A 电脑正常开机 0.7 -log(p(A))=0.36
B 电脑无法开机 0.2 -log(p(B))=1.61
C 电脑爆炸了 0.1 -log(p(C))=2.30
注：文中的对数均为自然对数

我们现在有了信息量的定义，而熵用来表示所有信息量的期望，即：
H(X)=−∑i=1np(xi)log(p(xi))
H(X)=−∑i=1np(xi)log(p(xi))
其中n代表所有的n种可能性，所以上面的问题结果就是
H(X)===−[p(A)log(p(A))+p(B)log(p(B))+p(C))log(p(C))]0.7×0.36+0.2×1.61+0.1×2.300.804
H(X)=−[p(A)log(p(A))+p(B)log(p(B))+p(C))log(p(C))]=0.7×0.36+0.2×1.61+0.1×2.30=0.804
然而有一类比较特殊的问题，比如投掷硬币只有两种可能，字朝上或花朝上。买彩票只有两种可能，中奖或不中奖。我们称之为0-1分布问题（二项分布的特例），对于这类问题，熵的计算方法可以简化为如下算式：
H(X)==−∑i=1np(xi)log(p(xi))−p(x)log(p(x))−(1−p(x))log(1−p(x))
H(X)=−∑i=1np(xi)log(p(xi))=−p(x)log(p(x))−(1−p(x))log(1−p(x))
3 相对熵（KL散度）
相对熵又称KL散度,如果我们对于同一个随机变量 x 有两个单独的概率分布 P(x) 和 Q(x)，我们可以使用 KL 散度（Kullback-Leibler (KL) divergence）来衡量这两个分布的差异

维基百科对相对熵的定义

In the context of machine learning, DKL(P‖Q) is often called the information gain achieved if P is used instead of Q.

即如果用P来描述目标问题，而不是用Q来描述目标问题，得到的信息增量。

在机器学习中，P往往用来表示样本的真实分布，比如[1,0,0]表示当前样本属于第一类。Q用来表示模型所预测的分布，比如[0.7,0.2,0.1]
直观的理解就是如果用P来描述样本，那么就非常完美。而用Q来描述样本，虽然可以大致描述，但是不是那么的完美，信息量不足，需要额外的一些“信息增量”才能达到和P一样完美的描述。如果我们的Q通过反复训练，也能完美的描述样本，那么就不再需要额外的“信息增量”，Q等价于P。

KL散度的计算公式：
DKL(p||q)=∑i=1np(xi)log(p(xi)q(xi))(3.1)
(3.1)DKL(p||q)=∑i=1np(xi)log(p(xi)q(xi))

n为事件的所有可能性。
DKLDKL的值越小，表示q分布和p分布越接近
4 交叉熵
对式3.1变形可以得到：
DKL(p||q)==∑i=1np(xi)log(p(xi))−∑i=1np(xi)log(q(xi))−H(p(x))+[−∑i=1np(xi)log(q(xi))]
DKL(p||q)=∑i=1np(xi)log(p(xi))−∑i=1np(xi)log(q(xi))=−H(p(x))+[−∑i=1np(xi)log(q(xi))]
等式的前一部分恰巧就是p的熵，等式的后一部分，就是交叉熵：
H(p,q)=−∑i=1np(xi)log(q(xi))
H(p,q)=−∑i=1np(xi)log(q(xi))
在机器学习中，我们需要评估label和predicts之间的差距，使用KL散度刚刚好，即DKL(y||y^)DKL(y||y)，由于KL散度中的前一部分−H(y)−H(y)不变，故在优化过程中，只需要关注交叉熵就可以了。所以一般在机器学习中直接用用交叉熵做loss，评估模型
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