动态规划 DP beta版

1. to update，还没有排版，lyd的这个部分还没看完
2. 适用范围
   a) 很多意想不到的问题可以用动态规划做
   b) usu子问题重叠导致了解题的高效。
   c) 最优解，方案数，甚至可行（bool，usu可以被其它而代替）
3. 设计：
   a) 时间轴常常构成了阶段。（自然的正确性证明，阶段线性增长）
   b) 把后效性记录下来
   c) 不好列状态方程的时候，适当放缩定义。
   d) 设初值，想好0 or (-)inf
4. 顺序：
   a) 按阶段划分递推（保证子问题已经得到求解）
   i. 阶段 状态 决策
   b) 记忆化搜索
5. 设计优化（usu体现在时间复杂度上）：
   a) 预处理（数据很小甚至可以O(N^2)），esp倍增
   b) 放缩
   c) 贪心思想强行要求顺序
   d) 关注决策集合，eps最值，降一维。边扫边处理
6. 空间优化：
   a) 滚动数组
   b) 不要第一维
   c) NOTICE:
   i. 状态之间的循环顺序
   ii. 输出方案时省不略。（usu记录某一个状态是怎么转移而来的，开与状态等大的来源记录数组）
7. 环形处理
   a) 拆开复制
   b) 两次dp，分类讨论。一次拆开，另一次通过适当赋值和条件设计出强制相连但与环等价的算法

常见模板：

1. 背包（很多问题都可以转化成背包）
   a) 0/1
   b) 完全（inf物品）
   c) 多重（finite物品）
   i. 二进制拆分 or 单调队列优化 咕
   d) 分组
2. 区间
3. 树形（以其为根的子树的信息）
   a) 通常的代码实现
   i. 先init本节点的信息
   ii. 递归，usu回溯时合并信息
   b) 不定根的树形dp：二次扫描 换根
   i. 第一次扫描：任选一个根，对答案树形dp（usu回溯时状态转移）
   ii. 第二次扫描：之前那个根的信息应该已完毕，自上而下统计其他节点的答案
4. 有后效性（方程为环）（高斯消元）咕