概率统计3：一元随机变量及其分布

随机变量：. 比如，考虑总统候选人的选举。定义X(win)=1, X(fail)=0, 则Ω=(0,1) 此时的样本空间已经转换为0-1，将概率理论应用到political science。随机变量也有可能是从大数据的文本分析中得到的，例子包括：主观幸福感；投资者情绪指数；经济政策不确定性指数（EPU）等等。

从第二章基于样本空间的probability space过渡到新的基于Ω的probability space。新的计算event的概率的方法采用equivalent event的方法。

混合分布：. F表示cdf. 例如收入，有90%的样本是从F1获得的，10%的样本是从F2获得的。那么权重p=0.9。Regime-Switching Models: Capturing Structural Changes …

接着讲了cdf的一些应用，例如洛伦兹曲线、一阶（二阶）随机占优。

经济学中我们通常不是对某个随机变量的分布感兴趣，而是对某个随机变量的函数的分布感兴趣。比如X表示价格，Y=X^2或者Y=|X|可以表示波动率。例如，Y=g(X)可以表示效用函数，在行为经济学里，用分段的效用函数表示风险厌恶。

定理1：PIT: 概率积分变换。对于随机变量X，若单调递增，，则Y服从(0,1)上的均匀分布。

用途1：生成任意分布的随机数序列。原理：第一步生成Y~U(0,1)，第二根据求解x.

用途2：检验数据序列 {} 是否是从某个分布得到的。原理:原假设H0：服从分布。构造，根据empirical CDF of Xi 转换得到的数据序列 { } ，检验Yi是否服从U(0,1)。具体的统计工具可以参考QQ图。

定理2：PDF转换：对于随机变量X，且g( )单调，若已知，则可求根据：

当从图形的角度理解数学公式时，必须要对概念非常清晰，否则无法对应。

例子：欧式期权的价格区间. 是一个凸函数，因此。所以期权是有价值的。在价格居于LHS和RHS的区间内都是可以成交的。

矩母函数：概念

矩母函数唯一性定理：矩母函数相同，等价于分布函数相同

矩母函数收敛性定理：当n趋近于无穷大时，序列Xn的矩母函数收敛，则其分布函数也收敛。记作Xn依分布收敛于Fx(x). 这个定理是中心极限定理的基础。