Python小白的数学建模课-07 选址问题

选址问题是要选择设施位置使目标达到最优，是数模竞赛中的常见题型。

小白不一定要掌握所有的选址问题，但要能判断是哪一类问题，用哪个模型。

进一步学习 PuLP工具包中处理复杂问题的字典格式快捷建模方法。

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1. 选址问题

选址问题是指在某个区域内选择设施的位置使所需的目标达到最优。选址问题也是一种互斥的计划问题。

例如投资场所的选址：企业要在 m 个候选位置选择若干个建厂，已知建厂费用、运输费及 n 个地区的产品需求量，应如何进行选址。

选址问题是运筹学中经典的问题之一，选址问题在生产生活、物流、甚至军事中都有着非常广泛的应用，如工厂、仓库、急救中心、消防站、垃圾处理中心、物流中心、导弹仓库的选址等。更重要的，选址问题也是数模竞赛的热点问题。

选址是重要的长期决策，选址的好坏直接影响到服务方式、服务质量、服务效率、服务成本等，从而影响到利润和市场竞争力，选址问题的研究有着重大的经济、社会和军事意义。

选址问题有四个基本要素：设施、区域、距离和优化目标。

1.1 设施

选址问题中所说的设施，在具体题目中可以是工厂、仓库、服务站等形式。

1.2 区域

选址问题中所说的区域，在具体题目中可以是工厂、车间的内部布局，也可以是给定的某个地区、甚至空间范围。

按照规划区域的特征，可以分为连续选址问题和离散选址问题。连续选址问题，设施可以布局在区域内的任意位置，就要求出最优选址的坐标；离散选址问题，只能从若干候选位置中进行选择，运筹学中的选址问题通常是这类离散选址问题。

1.3 距离

选址问题中所说的距离，是指设施到服务对象之间的距离，在具体题目中也可以是某个选址位置的服务时间、成本、覆盖范围。如果用图论方法求解，通常就是连接顶点的边的权值。

当问题所关注的是设施到服务对象之间的距离时，如果问题给出的不是顶点之间的距离，而是设施的位置坐标，要注意不是只有欧式距离，对于不同问题也可能是球面距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离。

1.4 优化目标

选址问题要求选择最好的选址位置，但选址位置只是决策变量，选择的最终目的通常是实现加权距离最短、费用最小、利润最大、时间最短，这才是优化问题的目标函数。

按照目标函数的特点，可以分为：中位问题，要求总成本最小；中心问题，服务于每个客户的最大成本最小；反中心问题：服务于每个客户的最小成本最大。

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2. 常见选址问题及建模

2.1 P-中位问题（P-median problem）

P-中位问题，假设有 N 个候选服务站和 M 个需求点，要从 N 个候选服务站中选择 P 个，使所有需求点到最近的服务站的加权距离 $d_{ij}$ 的总和最小。需求点 i 的权值，通常是指该需求点的需求量。

这是一个 MinSum 问题，定义决策变量 $x_j$ 为选中的服务站，$y_{ij}$ 将各需求点匹配到最近的服务站：
$$x_j=\{\begin{array}{ll}1，& 服务站j被选中\\ 0，& 服务站j未被选中\end{array}$$
$$y_{ij}=\{\begin{array}{ll}1，& 需求点i由服务站j服务\\ 0，& 需求点i不由服务站j服务\end{array}$$
可以建立数学模型如下：

$$\begin{gathered} min\sum _{i\in M}\sum _{j\in N}{w}_i{d}_{ij}{y}_{ij} \\ s.t.:\{\begin{array}{l}{\sum }_{j\in N}{x}_j=P\\ {\sum }_{j\in N}{y}_{ij}=1，\forall i\\ y_{ij}-x_j\le 0，\forall i,j\\ x_j\in \{0,1\},y_{ij}\in \{0,1\}\end{array} \end{gathered}$$

其中：j 为服务站，i 为需求点，$w_i$ 为需求点 i 的需求量， $d_{ij}$ 为需求点 i 到服务站 j 的距离。

2.2 P-中心问题

P-中心问题，假设有 N 个候选服务站和 M 个需求点，要从 N个候选服务站中选择 P个，使任一需求点到最近的服务站的最大距离最小。

这是一个 MinMax 问题，需要最小化任何需求点与其邻近设施点的最大距离。P-中位问题追求总和最小，可以理解为发展经济总量优先；P-中心问题关注最差个体的最好结果，可以理解为优先进行扶贫。

定义决策变量 $x_j$ 为选中的服务站，$y_{ij}$ 将各需求点匹配到最近的服务站：
$$x_j=\{\begin{array}{ll}1，& 服务站j被选中\\ 0，& 服务站j未被选中\end{array}$$

$$y_{ij}=\{\begin{array}{ll}1，& 需求点i由服务站j服务\\ 0，& 需求点i不由服务站j服务\end{array}$$

可以建立数学模型如下：

$$\begin{gathered} minD \\ s.t.:\{\begin{array}{l}{\sum }_{j\in N}{w}_i{d}_{ij}{y}_{ij}\le D,\forall i\\ {\sum }_{j\in N}{x}_j=P\\ {\sum }_{j\in N}{y}_{ij}=1,\forall i\\ y_{ij}-x_j\le 0,\forall i,j\\ x_j\in \{0,1\},y_{ij}\in \{0,1\}\end{array} \end{gathered}$$

其中：j 为服务站，i 为需求点， $d_{ij}$ 为需求点 i 到服务站 j 的距离。如果只求需求点到最近的服务站的最大距离，则 $w_i=1$ ；如果要求任一需求点到最近的服务站的最大运费，则 $w_i$ 为需求点 i 的需求量，即加权最大距离。

2.3 集合覆盖问题

覆盖模型适用于一些特殊场景，例如消防中心、救护车、巡逻车等应急设施的区位选址问题。覆盖问题分为集合覆盖问题（Set covering problem）和最大覆盖问题（Maximal covering problem）。

集合覆盖问题研究满足覆盖所有需求点顾客的前提下，服务站的最少个数或建设费用最小的问题。假设有 N 个候选服务站和 M 个需求点，已知每个服务站的服务范围（或服务容量），要从 N个候选服务站中选择若干个，使所有需求点得到服务（到所属服务站的距离或时间小于给定的临界值），服务站的个数最少或成本最小。

定义参数 $a_{ij}$ 为每个服务站的覆盖范围：

$$a_{ij}=\{\begin{array}{ll}1，& 服务站j可以覆盖需求点i\\ 0，& 服务站j不能覆盖需求点i\end{array}$$

定义决策变量 $x_j$ 为选中的服务站：
$$x_j=\{\begin{array}{ll}1，& 服务站j被选中\\ 0，& 服务站j未被选中\end{array}$$

可以建立数学模型如下：

$$\begin{gathered} min\sum _{j\in N}{c}_j{x}_j \\ s.t.:\{\begin{array}{l}{\sum }_{j\in N_i}{x}_j\ge 1,\forall i\in M\\ x_j\in \{0,1\}\end{array} \end{gathered}$$

其中：j 为服务站，i 为需求点，$c_j$ 为服务站 j 的建设费用（最少个数问题中不需要考虑），$N_i=\{j:a_{ij}=1\}$ 是覆盖需求点 i 的候选服务站的集合。

2.4 最大覆盖问题

最大覆盖问题研究在已知服务站的数目和服务半径的条件下，如何设立 P个服务站使得可接受的服务需求最大的问题。

定义决策变量 $x_j$ 为选中的服务站：
$$x_j=\{\begin{array}{ll}1，& 服务站j被选中\\ 0，& 服务站j未被选中\end{array}$$
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \ at position 57: …，& 需求点\ i\ 未被覆盖\̲ ̲\end{cases}

可以建立数学模型如下：

$$\begin{gathered} max\sum _{i\in N_i}{w}_i{z}_i \\ s.t.:\{\begin{array}{l}{z}_i\le {\sum }_{j\in N_i}{x}_j,\forall i\in M\\ {\sum }_{j\in M}{x}_j=p\\ x_j\in \{0,1\},z_i\in \{0,1\}\end{array} \end{gathered}$$

其中：j 为服务站，i 为需求点，$w_i$ 为需求点 i 的需求量。

2.5 其它选址问题

其它选址问题，在数学建模中应用相对较少，限于篇幅不能逐一介绍其数学模型。在此将各模型的特点简要介绍，以便判断问题的类型。

带固定费用和容量限制的选址问题

服务站建站的固定费用和服务站的容量（能力）限制这两个因素具有很强的实际意义，经常作为基本选址问题的深化研究课题。
无容量限制的固定费用下的选址问题，就是去掉服务站个数的约束，并将固定建站费用加到 P-中位问题的目标函数上。

选址分配问题

选址分配问题类似于 P-中位问题，有 m 个服务站需要选址，n 个已知位置的顾客分配给不同的设施，已知每个服务站的能力和每个顾客的需求，要求服务站的选址和顾客对服务站的分配，使顾客与所分配服务站的距离总和最小。

随机选址问题
服务站的运行时间、建设成本、需求点位置、需求数量等全部或部分参数是不确定的，但服从某种随机分布。

动态选址问题
研究未来若干时间段内服务站的最优选址问题，在不同时间段内动态选址模型的参数是变化的，但在某一时间段内模型参数是确定的。

竞争选址问题
研究考虑市场上存在两个以上同类产品或服务的提供者，或服务站提供多个产品或服务。

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2.6 选址问题的求解算法与编程实现

设施选址问题通常是是 NP 问题，不存在多项式时间算法。常用的近似解法有：

线性规划舍入算法，相当于整数规划问题的求解算法。首先给出原问题的整数规划模型，然后求解相应的线性规划松弛问题得到分数最优解，根据可行要求对分数最优解进行改造，构造原问题的整数可行解。

原始对偶算法，首先找到对偶问题的一个可行解，再根据该对偶可行解构造原始问题的整数可行解，不断调整对偶问题的可行解，直到找到最优解为止。

局部搜索算法：给定初始可行解，定义适当的邻域，通过引入恰当的调整策略，在邻域中得到改进的可行解，依次迭代，直到调整策略不能改进为止

启发式算法或随机优化算法。

本节作为线性规划问题系列的一篇，仍然选择 PuLP工具包求解选址问题。很多选址问题适合用图论方法描述和求解，这将在后续课程中进行介绍。

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3. 案例 1：PuLP求解指派问题

说明：本案例是指派问题，不是选址问题。因指派问题未单独成文，因此将该案例放在本文中。

另外，本案例给出了 PuLP 工具包使用字典方式快捷编程的使用方法，这在选址问题中是非常方便的。

3.1 游泳接力赛的指派问题

游泳队中 A、B、C、D 四名运动员组成 4x100米混合泳接力队，运动员各种泳姿的成绩如下表所示：

队员\项目	自由泳	蛙泳	蝶泳	仰泳
A	56	74	61	63
B	63	69	65	71
C	57	77	63	67
D	55	76	62	62

如何安排 A、B、C、D 四名运动员的泳姿，才最有可能取得好成绩？

3.2 指派问题建模分析

引入 0-1 变量 $x_{ij}$：
$$x_{i,j}=\{\begin{array}{l}0，第i人不游第j种姿势\\ 1，第i人游第j种姿势，i,j=1,...4\end{array}$$

指派问题的数学模型就可以描述为：
KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲ & min\;f(x) = …

其中：

$$c_{i,j}=\left(\begin{array}{cccc}56& 74& 61& 63\\ 63& 69& 65& 71\\ 57& 77& 63& 67\\ 55& 76& 62& 62\end{array}\right)$$

3.3 指派问题模型求解的编程

模型求解，用标准模型的优化算法对模型求解，得到优化结果。模型求解的编程步骤如下：

（0）导入 PuLP库函数

    import pulp

（1）定义一个规划问题

    AssignLP = pulp.LpProblem("Assignment_problem_for_swimming_relay_race", sense=pulp.LpMinimize)

pulp.LpProblem 用来定义问题的构造函数。参数 sense 指定问题求目标函数的最小值/最大值 。

（2）定义决策变量

    rows = cols = range(0, 4)
    x = pulp.LpVariable.dicts("x", (rows, cols), cat="Binary")

pulp.LpVariable 用来定义决策变量的函数。参数 cat 设定变量类型，’ Binary ’ 表示 0/1 变量。

注意，指派问题、选址问题中都涉及 N*M 维矩阵变量，变量个数很多，如果逐一定义非常冗长，而且容易出错、不便修改。本例使用 pulp.LpVariable.dicts 提供的字典格式定义了 4*4 个变量 $x_{ij}$，使程序大为简化。

（3）添加目标函数

    scoreM = [[56,74,61,63],[63,69,65,71],[57,77,63,67],[55,76,62,62]]
    AssignLP += pulp.lpSum([[x[row][col]*scoreM[row][col] for row in rows] for col in cols])

本例程在语句内使用两重 for 循环遍历列表实现所有变量的线性组合 ，使程序大为简化。

（4）添加约束条件

    for row in rows:
        AssignLP += pulp.lpSum([x[row][col] for col in cols]) == 1 # sum(x(i,j),j=1,4)=1, i=1,4
    for col in cols:
        AssignLP += pulp.lpSum([x[row][col] for row in rows]) == 1 # sum(x(i,j),i=1,4)=1, j=1,4

快捷方法对于约束条件的定义与对目标函数的定义相似，使用字典定义参数，使用循环定义约束条件，使程序简单、结构清楚。

（5）求解和结果输出

    AssignLP.solve()  # youcans
    print(AssignLP.name)
    member = ["队员A","队员B","队员C","队员D"]
    style = ["自由泳","蛙泳","蝶泳","仰泳"]
    if pulp.LpStatus[AssignLP.status] == "Optimal":  # 获得最优解
        xValue = [v.varValue for v in AssignLP.variables()]
        # [0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0]
        xOpt = np.array(xValue).reshape((4, 4))  # 将 xValue 格式转换为 4x4 矩阵
        print("最佳分配：" )
        for row in rows:
            print("{}\t{} 参加项目：{}".format(xOpt[row],member[row],style[np.argmax(xOpt[row])]))
        print("预测最好成绩为：{}".format(pulp.value(AssignLP.objective)))

xValue 获得的是列表变量，通过 numpy 的 reshape() 函数转换为 4*4 矩阵，便于格式化输出。

3.4 指派问题 Python 例程

# mathmodel08_v1.py
# Demo08 of mathematical modeling algorithm
# Solving assignment problem with PuLP.
# Copyright 2021 Youcans, XUPT
# Crated：2021-06-02
# Python小白的数学建模课 @ Youcans

import pulp      # 导入 pulp 库
import numpy as np

# 主程序
def main():
    # 问题建模：
    """
        决策变量：
            x(i,j) = 0, 第 i 个人不游第 j 种姿势
            x(i,j) = 1, 第 i 个人游第 j 种姿势
            i=1,4, j=1,4
        目标函数：
            min time = sum(sum(c(i,j)*x(i,j))), i=1,4, j=1,4
        约束条件：
            sum(x(i,j),j=1,4)=1, i=1,4
            sum(x(i,j),i=1,4)=1, j=1,4
        变量取值范围：
            x(i,j) = 0,1 
    """

    # 游泳比赛的指派问题 (assignment problem)
    # 1.建立优化问题 AssignLP: 求最小值(LpMinimize)
    AssignLP = pulp.LpProblem("Assignment_problem_for_swimming_relay_race", sense=pulp.LpMinimize)  # 定义问题，求最小值
    # 2. 建立变量
    rows = cols = range(0, 4)
    x = pulp.LpVariable.dicts("x", (rows, cols), cat="Binary")
    # 3. 设置目标函数
    scoreM = [[56,74,61,63],[63,69,65,71],[57,77,63,67],[55,76,62,62]]
    AssignLP += pulp.lpSum([[x[row][col]*scoreM[row][col] for row in rows] for col in cols])
    # 4. 施加约束
    for row in rows:
        AssignLP += pulp.lpSum([x[row][col] for col in cols]) == 1 # sum(x(i,j),j=1,4)=1, i=1,4
    for col in cols:
        AssignLP += pulp.lpSum([x[row][col] for row in rows]) == 1 # sum(x(i,j),i=1,4)=1, j=1,4
    # 5. 求解
    AssignLP.solve()  # youcans
    # 6. 打印结果
    print(AssignLP.name)
    member = ["队员A","队员B","队员C","队员D"]
    style = ["自由泳","蛙泳","蝶泳","仰泳"]
    if pulp.LpStatus[AssignLP.status] == "Optimal":  # 获得最优解
        xValue = [v.varValue for v in AssignLP.variables()]
        # [0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0]
        xOpt = np.array(xValue).reshape((4, 4))  # 将 xValue 格式转换为 4x4 矩阵
        print("最佳分配：" )
        for row in rows:
            print("{}\t{} 参加项目：{}".format(xOpt[row],member[row],style[np.argmax(xOpt[row])]))
        print("预测最好成绩为：{}".format(pulp.value(AssignLP.objective)))

    return

if __name__ == '__main__':  # Copyright 2021 YouCans, XUPT
    main()  # Python小白的数学建模课 @ Youcans

3.5 Python 例程运行结果

Welcome to the CBC MILP Solver 
Version: 2.9.0 
Build Date: Feb 12 2015 

Result - Optimal solution found

Assignment_problem_for_swimming_relay_race
最佳分配：
[0. 0. 1. 0.]	队员A 参加项目：蝶泳
[0. 1. 0. 0.]	队员B 参加项目：蛙泳
[1. 0. 0. 0.]	队员C 参加项目：自由泳
[0. 0. 0. 1.]	队员D 参加项目：仰泳
预测最好成绩为：249.0

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4. 案例 2：PuLP求解选址问题

4.1 消防站的选址问题

例题 2：某城市有 8 个区，每个区最多建一个消防站，拟建设消防站到各区的最长时间如下表所示。现要求任何区域发生火警时，消防车能在 10分钟内赶到。在此条件下尽量减少消防站数量，应该在哪几个区建设消防站？

区域	1	2	3	4	5	6	7	8
1	7	12	18	20	24	26	25	28
2	14	5	8	15	16	18	18	18
3	19	9	4	14	10	22	16	13
4	14	15	15	10	18	15	14	18
5	20	18	12	20	9	25	14	12
6	18	21	20	16	20	6	10	15
7	22	18	20	15	16	15	5	9
8	30	22	15	20	14	18	8	6

4.2 选址问题建模分析

首先判断这是一个集合覆盖问题，要求从 8 个候选消防站中选择若干个，在所有需求点得到服务的时间都小于临界值 10分钟的条件下，选择消防站的数量最少。本问题不考虑各候选站点建设费用的差异，即不带权重。

定义参数 $R_{ij}$ 为每个消防站的覆盖范围：
$$R_{ij}=\{\begin{array}{ll}1，& 消防站j可以覆盖区域i\\ 0，& 消防站j不能覆盖区域i\end{array}$$

由拟建消防站到各区的最长时间表可以得到参数 $R_{ij}$ 如下表：

区域	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	0	0	0	0	0	0	0
2	0	1	1	0	0	0	0	0
3	0	1	1	0	1	0	0	0
4	0	0	0	1	0	0	0	0
5	0	0	0	0	1	0	0	0
6	0	0	0	0	0	1	1	0
7	0	0	0	0	0	0	1	1
8	0	0	0	0	0	0	1	1

定义决策变量 $x_j$ 为选中的服务站：

$$x_j=\{\begin{array}{ll}1，& 消防站j被选中\\ 0，& 消防站j未被选中\end{array}$$

可以建立数学模型如下：

$$\begin{gathered} minf(x)=\sum _{j=1}^8{x}_j \\ s.t.:\{\begin{array}{ll}{\sum }_{j=1}^8{x}_j{R}_{ij}\ge 1,& i=1,..8\\ x_j\in \{0,1\},& j=1,..8\end{array} \end{gathered}$$

选址问题的模型求解，用标准模型的优化算法对模型求解，得到优化结果。

模型求解的编程步骤与指派问题是一致的，且在例程中给出了详细的注释，就不再进行逐项解释了。

需要注意的是，选址问题的决策变量、参数、约束条件的数量较大（N*M），如果对变量、约束条件逐个进行定义，编程过程将是非常冗长和痛苦的，因此需要使用列表、字典等快捷方式进行定义。对于更大规模的问题，模型中的数据要通过读取数据文件获得，就更需要采用这种方式来编程。

4.3 选址问题 Python 例程

# mathmodel09_v1.py
# Demo08 of mathematical modeling algorithm
# Solving set covering problem with PuLP.
# Copyright 2021 Youcans, XUPT
# Crated：2021-06-06
# Python小白的数学建模课 @ Youcans

import pulp      # 导入 pulp 库

# 主程序
def main():

    # 问题建模：
    """
        决策变量：
            x(j) = 0, 不选择第 j 个消防站
            x(j) = 1, 选择第 j 个消防站, j=1,8
        目标函数：
            min fx = sum(x(j)), j=1,8
        约束条件：
            sum(x(j)*R(i,j),j=1,8) >=1, i=1,8
        变量取值范围：
            x(j) = 0,1
    """

    # 消防站的选址问题 (set covering problem, site selection of fire station)
    # 1.建立优化问题 SetCoverLP: 求最小值(LpMinimize)
    SetCoverLP = pulp.LpProblem("SetCover_problem_for_fire_station", sense=pulp.LpMinimize)  # 定义问题，求最小值
    # 2. 建立变量
    zones = list(range(8))  #  定义各区域 youcans
    x = pulp.LpVariable.dicts("zone", zones, cat="Binary")  # 定义 0/1 变量，是否在该区域设消防站
    # 3. 设置目标函数
    SetCoverLP += pulp.lpSum([x[j] for j in range(8)])  # 设置消防站的个数
    # 4. 施加约束
    reachable = [[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
                 [0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0],
                 [0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0],
                 [0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0],
                 [0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0],
                 [0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0],
                 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1],
                 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1]]  # 参数矩阵，第 i 消防站能否在 10分钟内到达第 j 区域
    for i in range(8):
        SetCoverLP += pulp.lpSum([x[j]*reachable[j][i] for j in range(8)]) >= 1

    # 5. 求解
    SetCoverLP.solve()
    # 6. 打印结果
    print(SetCoverLP.name)
    temple = "区域 %(zone)d 的决策是：%(status)s"  # 格式化输出
    if pulp.LpStatus[SetCoverLP.status] == "Optimal":  # 获得最优解
        for i in range(8):
            output = {
     'zone': i+1,  # 与问题中区域 1~8 一致
                      'status': '建站' if x[i].varValue else '--'}
            print(temple % output)
        print("需要建立 {} 个消防站。".format(pulp.value(SetCoverLP.objective)))

    return

if __name__ == '__main__':  # Copyright 2021 YouCans, XUPT
    main()  # Python小白的数学建模课 @ Youcans

4.4 Python 例程运行结果

Welcome to the CBC MILP Solver 
Version: 2.9.0 
Build Date: Feb 12 2015 

Result - Optimal solution found

SetCover_problem_for_fire_station
区域 1 的决策是：建站
区域 2 的决策是：--
区域 3 的决策是：建站
区域 4 的决策是：建站
区域 5 的决策是：--
区域 6 的决策是：建站
区域 7 的决策是：建站
区域 8 的决策是：--
需要建立 5.0 个消防站

5. 小结

1. 关于规划问题，我们从线性规划、整数规划、0-1规划到一些特殊类型问题，用 5节课进行了介绍，到这里就暂告一段落了。后面根据需要，可能还会讲非线性规划，实际上主要是非线性优化问题了。
2. 虽然各种规划问题的求解算法差别很大，但我们所用的编程实现方法都是基于 PuLP工具包，编程步骤都是一致的。
3. 本系列集中体现了与其它课程的区别，没有展开讲算法的实现步骤，而是重点讲编程方法的选择、建立模型方程的过程和编程实现的步骤，这主要是为了便于小白学习和掌握。

【本节完】

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