判断图中是否有环的三种方法

0、什么是环？

在图论中，环（英语：cycle）是一条只有第一个和最后一个顶点重复的非空路径。

在有向图中，一个结点经过两种路线到达另一个结点，未必形成环。

1、拓扑排序

1.1、无向图

使用拓扑排序可以判断一个无向图中是否存在环，具体步骤如下：

1. 求出图中所有结点的度。
2. 将所有度 <= 1 的结点入队。（独立结点的度为 0）
3. 当队列不空时，弹出队首元素，把与队首元素相邻节点的度减一。如果相邻节点的度变为一，则将相邻结点入队。
4. 循环结束时判断已经访问的结点数是否等于 n。等于 n 说明全部结点都被访问过，无环；反之，则有环。

1.2、有向图

使用拓扑排序判断无向图和有向图中是否存在环的区别在于：

• 在判断无向图中是否存在环时，求的是结点的度；
• 在判断有向图中是否存在环时，求的是结点的入度。

2、DFS

使用 DFS 可以判断一个无向图和有向中是否存在环。深度优先遍历图，如果在遍历的过程中，发现某个结点有一条边指向已访问过的结点，并且这个已访问过的结点不是上一步访问的结点，则表示存在环。

我们不能仅仅使用一个 bool 数组来表示结点是否访问过。规定每个结点都拥有三种状态，白、灰、黑。开始时所有结点都是白色，当访问过某个结点后，该结点变为灰色，当该结点的所有邻接点都访问完，该节点变为黑色。

那么我们的算法可以表示为：如果在遍历的过程中，发现某个结点有一条边指向灰色节点，并且这个灰色结点不是上一步访问的结点，那么存在环。

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

vector> g;
vector color;
int last;
bool hasCycle;

bool topo_sort() {
    int n = g.size();
    vector degree(n, 0);
    queue q;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        degree[i] = g[i].size();
        if (degree[i] <= 1) {
            q.push(i);
        }
    }
    int cnt = 0;
    while (!q.empty()) {
        cnt++;
        int root = q.front();
        q.pop();
        for (auto child : g[root]) {
            degree[child]--;
            if (degree[child] == 1) {
                q.push(child);
            }
        }
    }
    return (cnt != n);
}

void dfs(int root) {
    color[root] = 1;
    for (auto child : g[root]) {
        if (color[child] == 1 && child != last) {
            hasCycle = true;
            break;
        }
        else if (color[child] == 0) {
            last = root;
            dfs(child);
        }
    }
    color[root] = 2;
}

int main() {
    int n = 4;
    g = vector>(n, vector());

    g[0].push_back(1);
    g[1].push_back(0);
    g[1].push_back(2);
    g[2].push_back(1);
    g[2].push_back(3);
    g[3].push_back(2);
    cout << topo_sort() << endl;    //0，无环
    color = vector(n, 0);
    last = -1;
    hasCycle = false;
    dfs(0);
    cout << hasCycle << endl;       //0，无环

    g[0].push_back(3);
    g[3].push_back(0);
    cout << topo_sort() << endl;    //1，有环
    color = vector(n, 0);
    last = -1;
    hasCycle = false;
    dfs(0);
    cout << hasCycle << endl;       //1，有环
    return 0;
}

3、Union-Find Set

我们可以使用并查集来判断一个图中是否存在环：

对于无向图来说，在遍历边（u-v）时，如果结点 u 和结点 v 的“父亲”相同，那么结点 u 和结点 v 在同一个环中。

对于有向图来说，在遍历边（u->v）时，如果结点 u 的“父亲”是结点 v，那么结点 u 和结点 v 在同一个环中。

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

vector> g;
vector father;

int findFather(int x) {
    int a = x;
    while (x != father[x]) {
        x = father[x];
    }
    while (a != father[a]) {
        int z = a;
        a = father[a];
        father[z] = x;
    }
    return x;
}

void Union(int a, int b) {
    int fa = findFather(a);
    int fb = findFather(b);
    father[a] = father[b] = min(fa, fb);
}

bool isCyclicUnirectedGraph() {
    for (int i = 0; i < g.size(); i++) {
        int u = g[i].first;
        int v = g[i].second;
        if (father[u] == father[v]) {
            return true;
        }
        Union(u, v);
    }
    return false;
}

bool isCyclicDirectedGraph() {
    for (int i = 0; i < g.size(); i++) {
        int u = g[i].first;
        int v = g[i].second;
        if (father[u] == v) {
            return true;
        }
        father[v] = findFather(u);
    }
    return false;
}

int main() {
    // Undirected acyclic graph
    //   0
    //  / \
    // 1   2
    g.push_back(make_pair(0, 1));
    g.push_back(make_pair(0, 2));
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        father.push_back(i);
    }
    cout << isCyclicUnirectedGraph() << endl;   //0，无环
    // Undirected cyclic graph
    //   0
    //  / \
    // 1———2
    g.push_back(make_pair(1, 2));
    vector().swap(father);
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        father.push_back(i);
    }
    cout << isCyclicUnirectedGraph() << endl;   //1，有环
    // Directed acyclic graph
    //   0
    //  / \
    // v   v
    // 1——>2
    vector>().swap(g);
    g.push_back(make_pair(0, 1));
    g.push_back(make_pair(1, 2));
    g.push_back(make_pair(0, 2));
    vector().swap(father);
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        father.push_back(i);
    }
    cout << isCyclicDirectedGraph() << endl;    //0，无环
    // Directed cyclic graph
    //   0
    //  / ^
    // v   \
    // 1——>2
    g.pop_back();
    g.push_back(make_pair(2, 0));
    vector().swap(father);
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        father.push_back(i);
    }
    cout << isCyclicDirectedGraph() << endl;    //1，有环
    return 0;
}

References

1. 环 (图论)
2. 有向无环图
3. 判断一个图是否有环及相关 LeetCode 题目
4. 判断有向图是否存在环的 2 种方法（深度遍历，拓扑排序）