刚体运动学（7）：矢量的变化率

从刚体的广义运动到正交变换，我们对转动变换的认识也逐渐从对刚体的研究推广到了一般的矢量。

对时变化率与瞬时角速度

当一个物体随时间运动时，它的位矢通常也会改变，并且从之前的文章我们已经了解到，矢量的变化是与它所处参考系息息相关的。

对于一个广义矢量，在局部参考系下经过时间后的变化很显然与在全局参考系下经过相同时间的变化不同。

通常，位于这两个不同参考系下的观测者测量的变化具有如下关系：

即，矢量在全局参考系的变化量（用下角标表示）等于矢量在局部参考系的变化量（用下角标表示）加上矢量因为转动造成的变化量（用下角标表示）。

对于一个处于相对局部参考系静止的参考系中的观测者而言，

所以

若矢量与物体一起绕转轴逆时针旋转（主动变换），

所以在一般情况下，对于任意矢量，有

经过时间的变化率

其中，是瞬时角速度，它平行于物体从时间到瞬时微小转动的转轴。

因为矢量具有一般性，可将其从上述等式中去除，表示为算符方程的形式

我们得到了一个矢量的对时变化率在全局惯性系与旋转参考系（局部参考系）之间的变换法则。

用欧拉角表示角速度矢量

广义微小旋转下的瞬时角速度可以分解为三个矢量：

沿局部参考系轴的方向，使用正交变换矩阵，可以得到三者沿对应轴的分量。

已知

$\rm{R}(\phi,\theta,\psi) = \begin{bmatrix}\cos\psi\cos\phi - \cos\theta\sin\phi\sin\psi & \cos\psi\sin\phi + \cos\theta\cos\phi\sin\psi & \sin\psi\sin\theta\\-\sin\psi\cos\phi - \cos\theta\sin\phi\cos\psi & -\sin\psi\sin\phi + \cos\theta\cos\phi\cos\psi & \cos\psi\sin\theta\\\sin\theta\sin\phi & -\sin\theta\cos\phi & \cos\theta \end{bmatrix}\\$

根据-顺规，在局部坐标系下：

（1）矢量沿全局参考系-轴方向

$\begin{align*}\boldsymbol{\omega}_{\phi}^{\prime} &= \rm{R}\boldsymbol{\omega}_{\phi}\\\begin{pmatrix}\omega_{\phi x^{\prime}}\\\omega_{\phi y^{\prime}}\\\omega_{\phi z^{\prime}}\end{pmatrix}&= \rm{R}\begin{pmatrix}0\\0\\\dot{\phi}\end{pmatrix} \end{align*}\\$

（2）沿交点线方向

$\begin{align*}\boldsymbol{\omega}_{\theta}^{\prime} &= \rm{x}^{\prime} \boldsymbol{\omega}_{\theta}\\\boldsymbol{\omega}_{\theta}^{\prime} &= \rm{x}^{\prime}\begin{pmatrix}\dot{\theta} \\ 0\\0\end{pmatrix} \end{align*}\\$

（3）沿局部参考系轴方向，不需要再次进行正交变换

于是

$\begin{align*}\boldsymbol{\omega} &= \boldsymbol{\omega}_{\phi} + \boldsymbol{\omega}_{\theta} + \boldsymbol{\omega}_{\psi}\\&= (\dot{\phi}\sin\theta\sin\psi + \dot{\theta}\cos\psi)\mathbf{i}^{\prime} + (\dot{\phi}\sin\theta\cos\psi - \dot{\theta}\sin\psi)\mathbf{j}^{\prime} + (\dot{\phi}\cos\theta + \dot{\psi})\mathbf{k}^{\prime}\end{align*}\\$

$\begin{align*}\omega_{x^{\prime}} &= \dot{\phi}\sin\theta\sin\psi + \dot{\theta}\cos\psi\\\omega_{y^{\prime}} &= \dot{\phi}\sin\theta\cos\psi - \dot{\theta}\sin\psi\\\omega_{z^{\prime}} &= \dot{\phi}\cos\theta + \dot{\psi}\end{align*}\\$

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对时变化率与瞬时角速度

用欧拉角表示角速度矢量

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