2021-04-30 离散傅里叶变换DFT的纯数学理解

本文是介绍离散傅里叶变换的，实际上笔者看过了n多文章或者书籍介绍傅里叶变换

，但是关于从傅里叶级数到连续傅里叶变换，再到离散时间傅里叶变换，再到离散傅列叶变换，尚未发现有文章能把整个逻辑链介绍清楚的。

因此笔者另辟蹊径，从一个非常独立的视角来

推导离散傅列叶变换公式。

问题：给定一个离散复信号
以及给定以下N个离散复信号

现在要求复数:使得
对任意有:
(1)

解:
那么，我们可以把上面N个等式，表达为矩阵形式:
记



[矩阵，第行，列为 ，后文中对于一般的矩阵表示其行,列元素，不再赘述]
则，方程组(1)可以简写为:

=>

下面证明是酉矩阵(逆矩阵为共轭转置的矩阵)
设的共轭转置矩阵为
则

(2)
当时，上式
当 时， 上式 (证明略)

综上，确实是酉矩阵,则

将 表达为一般形式，有:
对

如果记
我们便得到了标准的离散傅里叶变换表达式:

综上，离散傅里叶变换可以理解为把离散信号:
展开为正交基 的线性组合
之后， 其系数的求解公式（乘以一个常量因子）

至此，就得到了离散傅里叶变换DFT的一个纯数学的非常简明的理解。