高等数学之罗尔中值定理（习题）

利用罗尔中值定理证明根的存在性

例1：

设f(x)在[1,e]可导，且f(1)=0,f(e)=1,试证 f'(x)=在(1,e)至少有一个实根

证明：

[1]构造辅助函数

（1）f'（x）=（将 ξ 换为 x）

（2）f'（x）-=0（移项，使等式的一端为0）

（3）（找出非零端的原函数f（x））

令F(x)=f(x)- ln x = 0

[2]验证罗尔中值定理的三个条件

（可导必连续）

因为f（x）在[1,e]上连续，在（1,e）内可导;

所以F（x）在[1,e]上连续，在（1,e）内可导;

原函数 ：

 F（1）=f（1）- ln 1=0;    （看到这里要是看蒙了，你就看看原题   f（1）  和f（e）的条件）

F（e）=f（e）- ln e=1-1=0；

所以F（1）=F（e）

[3]由罗尔中值定理可知：

至少存在一个 ξ∈(1，e)，使得 f'(ξ)=0。

即    f'(ξ) -=0

  f'(x)=在（1，e）至少有一个实根