矩阵分析学习笔记（四）-矩阵的分解

奇异值分解(Singular Value Decomposition，SVD)

定义：设，半正定矩阵的个特征值记为。显然。称的算数平方根为矩阵的奇异值。

定理：设矩阵的奇异值中有个不等于零，记为，它们构成的 阶对角阵记为，令阶矩阵具有如下分块形式：，则存在正交阵，使得。

例：求矩阵的奇异值分解。

解：先求，其特征值为，故的奇异值为的正交单位特征向量为，

故，

，

解线性方程组得通解为，取得为单位向量，

故，此时。

广义特征值

设阶方阵和都是实对称阵，且是正定的，求使方程有非零解。

注：有非零解的充分必要条件是

故可称为相对于的特征方程，它的根称为相对于的广义特征值，与对应的非零解称为对应于广义特征值的特征向量。

定理：设为实对称阵，为正定对称阵，，则 是相对于的广义特征向量的充分必要条件为是对称阵的对应于的特征向量，即。

例：，求相对于的广义特征值和广义特征向量。

解：，得广义特征值为，

​ 当 时，求得，

​ 当 时，求得。