2018-11-29 第四部分 图论整理 第10章

第10章 图的基本概念

10.1 图

1.图G的结点数称为G的阶，用n表示，G的边数用m表示。

2.将多重图和伪图中的平行边代之以一条边，去掉环，就可以得到一个简单图。

3.图G中结点u的度d(u)是G中与u关联的边的条数，每个环在计算度时算作两条边。最大的点度记为，最小的点度记为。

4.握手定理：对于任何 (n, m) 图G = (V, E)有

                                                 

5.在任何图中，奇数度的结点数必定是偶数。

6.在有向图G中，结点u的入度是与u关联的入边的数目，出度是u的出边的数目。

7.对于任何(n, m) 有向图G=(G, V),

                                        

且                                    

8.度为0的结点称为孤立结点。只由孤立结点构成的图G = (V,Ø) 称为零图。只由一个孤立结点构成的图称为平凡图。

9.各点度相等的图称为正则图。

10.任何两个结点皆相互邻接的简单图称为完全图。

11.每对结点u和v之间恰有一条边(u, v) 或 (v,u) 连接的简单有向图称为竞赛图。

12.二部图G = (G, V) 的结点集可以划分为两个子集X和Y，使得它的每一条边的一个关联结点在X中，另一个关联结点在Y中。如果X中每个结点和Y中的全部结点都邻接，则称G为完全二部图，记为Kn1,n2 。

13.设H = （V1, E1) 和 G = (V2 , E2) 是两个图，若满足V1V2且E1E2，则称H是G的子图。特别地，当V1=V2时，称H是G地生成子图；当E1E2或V1V2时，称H是G的真子图；当V1=V2且E1=E2或E1=Ø时，称H是G的平凡子图。

14.从G中删除结点u及其关联的全部边后得到的图称为G的删点子图，记为 G-u。

15.从G中删除边e后得到的图称为G的删边子图，记为 G-e。

16.点诱导子图

17.边诱导子图

18.补图

19.同构。结点存在映射关系，边通过函数关系也可以一一映射。

20.带权图

10.2 通路与回路

1.道路 P=v1e1v2e2……ekvk

2.起点 终点 内部节点 长度= k

3.起点终点不同：开道路；闭道路

4.P的边互不相同称为简单道路。闭的简单道路称为回路。

5.P中结点互不相同称为基本道路。起点终点相同的基本道路称为圈。奇圈，偶圈。

10.3 图的连通性

1.连通性；有向连通，可达。

2.只有一个支的图称为连通图，支数大于1的图称为非连通图。

3.u和v的最短道路之长称为距离，记为d(u , v)。

4.删去后使连通图的支大于1的结点集合称为点割集；删去后仍为1的结点集合称为基本割集。割点

5.同理 边割集

6.图G点连通度是使由 G 产生一个非连通子图，或一个结点的子图需要删去的最少的结点数目。对于完全图

7.边连通度

8.对于任何图G，

9.对于简单有向图，有单向连通图，强连通图（任何两个结点之间都是相互可达），弱连通图（G的基图是连通的）

10.简单有向图的极大强连通子图称为G的强分图，极大单向连通子图称为单向分图，极大弱连通子图称为弱分图。（极大就是指结点不能再多了）

11.简单有向图中，每个结点位于且仅位于一个强分图中。

10.4 图的矩阵表示

1.邻接矩阵

2. 中的元素表示长度为k的有向道路的数目。

3.可达性矩阵（利用Warshall算法）

4.关联矩阵（边-结点）