【初等数论】指数、原根与不定方程

【初等数论】指数、原根与不定方程

1、指数

现在我们就开始为剩余系建立“坐标”，完全剩余系是连续的，剩余类本身就是很好的坐标，所以这里我们只需讨论既约剩余系。前面已经知道时，总存 d 在使得 ，满足条件的最小的称为a对模m的阶或指数，也可简记为，我们可以看出来当模 m 确定时，由 a 唯一的确定，d 是 a 的函数。为了得到更进一步的结论，我们先整理一下指数的一些简单性质如下：
（1）若 ，则 。从而有若，则；
（2）；。

我们来继续研究指数的性质，首先考虑，由知，故可容易有公式（1），你可以简单停留思考下，有了（1）式后我们就可以从求 了。其次由定义显然有：若 ，则 。所以对互质分解 (分解模数)，总有，再根据模的性质就有公式（2）。再进一步，对任意的a1,a2,⋯,an，考虑方程组的唯一解 a（剩余定理），显然有 ，再根据公式（2）可得 a 满足公式（3）。



　
　 再来研究 （分解底数），令，则显然有（提示：可以结合(1)式进行思考）。先看各个 互素的情况，这时 ，令 。因为，又因为互素。故，从而有公式（4）。如果不互素，一般并没有。但反过来，对任意的，利用公式（1）和（4）构造满足公式（5）的 a 还是很容易的。
　

　
　 指数在研究循环小数时有个有趣的结论。对既约分数，如果有，则是循环小数的充要条件是。如果，则最小循环周期为 c，并且小数点后的非循环数长度为。特别地，如果，则是纯循环小数。证明过程不是难，可以作为练习，提示：使用关系式

2、原根

由指数的性质（2）可知是个不同的数，特别地当时，它们遍历 m 的既约剩余系。这种关系使得既约剩余系变得特别简单，我们也由此找到了合适的坐标。为此，当 时称 g称为模 m的原根，它便是既约剩余系的单位元，负责将剩余系串成一个线性空间。先来思考如下几个问题：
　
• 如果 ，则 遍历m的既约剩余系时，也遍历既约剩余系;
• 若，或 ，都有 2 是的原根；
• 的素因子有形式或。

我们自然会有问题：什么样的模数有原根？有多少个原根？如何判定？前面已经知道，而除了这5种情况外（p为奇素数），容易证明其它都有，它们肯定没有原根，因为当模数 m 不属于上面这五种情况时，必有 m 为 或 或 ，而这里的 由 给出。这里的 由下列式子给出：
　 又因为我们有式子， 故可以得到 ，可自行验证。

下面就需要论证那5种情况是否有原根，直接验算可知1,2,4有原根。对于模p的情况，由公式（5）知存在g使得 ，首先当然有 。另外因为有全解，则 。从而 ，所以p有原根 g。

由 和 的等价性，并且 ，可知和有相同的原根，这样一来我们就只需要讨论模是否有原根了。当g是原根时，因为，故为或。要想g也是的原根，必须，即满足式子（6）。而如果该条件满足，用归纳法可以验算得它对一切都满足，即g是所有的原根。

　
　现在只要能证明以上条件对成立（即），我们就找到了所有模的原根，研究证明了原根的存在性。对模 p 的原根 g，考察 和式子（7）中的变形。 中有且仅一个是 p 的倍数，取其它任何一个值都能得到了满足条件的原根，条件得证。

至此我们已经证明了原根存在的充要条件是模为 之一，但如果想要找出原根，目前还没有很简单的方法。一般只能逐个尝试每个数，然而利用公式（5）的构造法是可以加快计算的，比如如果已经知道和，因为，故素因子 2,3 必定也是模 41 的原根的素因子，经过尝试后得 是 41 的原根。

如果原根存在，选定一个原根 g 后，它的幂次遍历整个既约剩余系。如果 ，称 k 为a 的指标，记作 ，或简记为和 。指标将既约剩余系变成了一个完全剩余系，使其结构由分散的变为线性的，由此可以更好地研究它的性质。以下为原根的一些性质，其中性质（3）中蕴含了指数为的数有 φ(d)个，它们是 。特别地共有个原根，它们是 。

(1)
(2) ,特别地有
(3)

我们一直想把指数当做即约剩余系的“坐标”，现在就来着手做这件事。一般的，将模m进行素数分解，其既约剩余系的每个数 a 在各个维度都有一个值 。对 g_k\gamma_k=\gamma_{p_k^{e_k},g_k}(a_k)$就可以看做a 在第 k 维的坐标。

但对于，除外是没有原根的，时怎么建立坐标？通过归纳法你可以证明，并且容易知道是它的一个既约剩余系。这样任何既约数都有唯一表达式（8），就可以看做它的坐标。完整的就得到任何既约数的指标表达式（9）和（10）（（10）中的是（9）中的取1、其它取0得来），使用（10）来证明威尔逊定理就简单多了。

3、二项同余方程

最后再来看同余方程（11）它一般称为二项同余方程。如果方程有解，称a为m的n次剩余，否则称为n次非剩余。对m进行素数分解后，方程可以化为一个方程组，我们只需分别讨论这些方程即可。

　　
　　模 （p为奇素数）有原根 g，用它来分析二项方程会很简单（下面的讨论针对有原根的模m都成立）。将原根带入原方程，得到式子（12）的左侧，它显然对应于右侧的一元一次同余方程。可以先回顾一下一次方程的特点，令，则，且方程解的周期为，请先在脑子想象一下它们的布局。回到原方程，令，则方程有解的充要条件是，且共有个n次剩余。方程的解有d个，它们的周期是。

　　
　　现在来把条件转化为与a直接相关的。因为，使用公式（1）直接有式子（13）。结合条件d|γ(a)，显然有，它又等价于公式（14）。这就是方程有解的充要条件，明显二次剩余的判定条件只是它的特例。

对模的情景需要单独考虑，前面的讨论中说明了它的既约剩余系有两个独立的维度，故只需分别讨论两个维度就行了。令，可知方程有解的充要条件是且，方程解的个数为。展开说就是，当时有且仅有1解，既约剩余系的每个值都是n次剩余。当时有解的充要条件是且，并且有2d个解，共有个数是n次剩余。

下面把有解的充要条件转化为与 a 相关的，首先易知必有形式。因为，我们的条件其实等价于，这就得到充要条件为公式（15）。当然你也可以得到与类似的式子，但因为不如上式简洁，这里就不赘述了。

不定方程

经过前面关于初等数论的基础知识的学习和理解，这里我们就可以开始不定方程的简单论述。不定方程是初等数论向前发展直接的驱动力之一。不定方程又叫丢潘图方程，它们以整数（或有理数）为变量和参数，而且有两个以上的未知数，多以多项式形式出现。不定方程既是数论的应用，也是数论理论形成的来源，对不定方程的思考可以将前面学习过的知识和内容串起来。

4、一次不定方程

最简单的不定方程就是一次方程（1），它表现为一个多元线性方程。如果你还记得前面最大公约数的线性组合定义，就容易得到方程有整数解的充要条件是 。多元方程的第一步往往是降元，令，则方程等价于一次方程组（2）（想想为什么？以及为什么要先抽出最大公约数？）。如果对（2）式一直做类似处理，就会得到多个二元一次方程，这样就把问题集中到了简单的情景。

而对于二元一次方程 ，它有明显的几何意义，方程的解就是直线方程上的整数点，所有对其讨论都可以从图形中找出。容易看出，如果已知一个解 ，则方程的全部解为公式（3）。至于如何求得一个特解，一般还是用辗转相除法，对于一些简单的情况，也可以直接尝试各种值。

5、商高方程及其扩展

5.1 商高方程

勾股定理 大家都熟悉，有一个自然的问题是：如何求它的所有解？这个问题一般叫商高方程或毕达哥拉斯方程。容易证明当时方程的解两两互素，如果再限定解为正数，这样的解叫本原解。方程的解要么是平凡解 (0,0,0)，要么是本原解的倍数，因此我们只需专注于找到所有本原解。

另外，因为素数的平方只能是的形式，可推得 x,y 必定是一奇一偶，下面就假设 y 为偶数，原方程整理为式子（4）。容易证明（这个性质以后会经常用），故可设和，其中 。用 表示 就得到了方程的解（5），但要注意要使得它们两两互素，还需要限定 （自行证明）。

做一个简单的推广，形如（6）式的方程这么解？这就是著名的费马大定理（Fermat Last Theorem），当然它在1994年被彻底证明前叫费马猜想。费马发现它们并无非平凡解，并声称找到了一个绝妙的证明方法，但由于书的空白太小写不下。后来人经过了三百多年的努力，才用现代数学的方法将它攻破，大家多数倾向于认为费马的证明并不存在或并不成立。

使用类似的方法和无穷递降法，你可以证明 无非平凡解，进而 无非平凡解，它就是费马大定理在时的情况。下面可以思考一下如下几个问题：

• 求解 和 ；
• 求解 ；（提示：无互质解）
• 证明 都有无穷多组解。（提示：构造）

5.2

再来看费马大定理在 的情景，欧拉证明了它没有非平凡解，采用的是无穷递降法。假设是使得 最小的一组非零解，我们的目的是构造一组值更小的解。首先当然有，并且其中仅有一个偶数，经过调整后可以使为偶数。这时可以令 ，则有 （总结成式（7）），这个变换的重要意义在于降次。

现在来研究 ，其中 ，它里面有我们熟悉的二次表达式。考察的每个素因子 p，因为 ，故总有（可参考下面将要介绍的平方数分解的最后一段）。使用公式（8）（使用复数证明这类等式更容易，并且体现了范数的思想），可知总有。下面证明总能找到合适的 ，使得关系式（9）成立。

使用归纳法证明，当 时，公式（9）显然成立。若结论对成立，则考虑 ，我们的目的是找到表达式（9）。由前面的结论可有 ，且有 和满足类似（9）的关系式。与刚才的式子相乘并除以 得到（10），然后证明（10）式右侧的两项可以都是整数。若记 ，则由假设知存在 和 满足类似（9）的关系式。综合以上结论，可得到的相关结论（11），它们满足公式（9），定理得证。

现在回过头来看式子（7）中的 。当 时，由 必为一奇一偶且互素（想想为什么）和 为偶数，容易有 ，可以假设式子（12）左侧。而由上面的结论可知（12）的右侧成立，其中最右边三项互质，故有式子（13）。而 。当 时可以得到同样的结论，由此我们得到了一组积单调递减的解，这是不可能的，所以原方程没有非平凡解。

5.3

将商高方程在系数上进行扩展，得到一般性的（ 且无平方因子），当然我们只需研究其本原解 。首先容易有 ，则存在 ，变换 得到式子（14），从而是的二次剩余。这样我们就得到了方程有解的一个必要条件：分别是 的二次剩余。

下面来看它们是否是方程有解的充分条件，使用的是降次法和构造法。另外，利用同余方程研究不定方程也是常见方法，这里我们可以先考虑同余方程（15）。先来看降次，首先容易判断 ，则可以有式（16）。对模 也可以有类似的表达式，它们将原式表示成了两个线性表达式之积，问题也就容易转化到一次方程了。使用剩余定理可以将三个表达式的右侧统一成 ，再根据同余的性质就有式（17）。

要使方程（15）有解，可以先讨论 ，使用鸽笼原理容易得知它有满足条件（18）的解。这样我们就得到了方程（15）的解，为方便讨论，下面假设 ，其它情况都可以转化为这种情况。

现在令 ，比较容易推导出 和 ，故有 或 。若 ，我们就得到了原不定方程的解。若，则乘以 ab 再配方就有式（19），不管各项是否全为零我们都能找到原方程的解。

至此充分性证明完毕，总结结论就是： 有解的充要条件是 分别是|a|,|b|,|c|的二次剩余。

6、平方数分解

数论中一个著名的问题是把整数表示成若干个平方数之和 ，平方和常出现于范数当中，其重要性不言而喻。我们先把条件设定得宽松一点，假设 ，如果时对所有a成立，则显然时也成立，我们需要讨论有没有最小的n使得所有a都成立。当然问题还可以再做放宽，允许对有限个数不成立。当时，非平方数有无穷多个，故结论不成立。当时，都不能表示成两个平方和，结论也不成立。

当 时，高斯得到过定理：自然数能表示为3个平方和的充要条件是 ，这就说明了时我们要的结论还是不成立。高斯定理的充分性比较复杂，这里仅证明必要性。首先因为，所以 ，定理中时成立（其实这一点就已经说明了n=3时结论不成立）。下面利用归纳法，当 时必要性成立，如果有，必然有，从而两边可同时除以 4，这与 时的必要性成立矛盾，故必要性对一切e成立。

而幸运的是，当时，我们要的结论终于成立了，它就是著名的拉格朗日定理：任何正整数都可以表示为四个平方数之和（公式（20）），故也称作四平方和定理。这个定理的证明需要用到四平方和恒等式（21），两个四平方和之积也是四平方和。有了这个恒等式，我们的四平方和定理就等价于：任何素数都可以表示为四平方数之和。下面就来证明这个等价命题，注意证明的过程其实也就是寻找分解式的过程。

先来证明 有解（这里的1使得表达式非零）。当各自取遍时， 各自遍历 个不同的数，所以存在 满足。这个结论说明存在使得有解，从这里开始，下面我们下面要不断缩小m至1。

首先如果，则显然，方程两边可以约去。其次如果，则四个数中必有偶数个奇数，它们可以两两组合为偶数，这样就得到式子（22）。经过以上两步如果仍有 ，将原式对取模 m，经过前面类似的整理可以有式子（23）。式（23）和原等式相乘并根据四平方和恒等式，可以有 ，并且由恒等式容易证明 ，两边除以被再一次缩小。这个过程可以一直进行到，这就完成了证明。

现在我们把定理的条件加强一点，如果要求，结论还成立吗？首先容易证明如果 ，则必有，等式两边可以除以 4。利用这个特点并使用归纳法，可以证明都不能表示为四个非零平方数之和。当把放宽为时，考虑的分解式（24）。当时，先将x表示为4个非零平方的和，然后从式（24）中选择一个分解，最终总可以将a表示为5个非零平方之和。对于，可以一一验证，除了外都可以分解为5个非零平方之和。这样就有结论，除了几个特殊值外，所有整数都能表示为5个非零平方之和，当然由证明过程知道结论对n=6也是成立的（只是特殊值会不一样）。

在理解了上述介绍之后，可以尝试着思考下如下这个问题：
• 给出时的全部解。并由此证明有无穷多个a使得方程不存在的解，有无穷多个a使得方程不存在互不相等的解。

高斯定理给出了 时方程有解的充要条件，现在来看时的情景，这个问题也是非常重要的。先来看素数的情况 ，显然它有解时必定有或。而当时，−1是p的二次剩余，所以有解。使用和四平方和定理完全一样的方法（当然也得益于平方和恒等式：平方和之积也是平方和），可以构造出 。

现在回到一般整数，其中m无平方因子。由刚才的结论与平方和恒等式，如果m不含素因子，则它必定能表示为平方和。反之如果m能表示为，则它的任何素因子满足，故必有或。总结以上就有结论： 可分解为二平方和的充要条件是m不含素因子。

对时，可以提一个跟严格的问题：方程何时有的解。其实刚才的证明中已经看出，首先奇素数因子只能为，另外容易证明 。反之如果或，前面的证明中已经表示它能表示为二互素数的平方和。接下来用归纳法可知该结果对也成立，用类似方法也能得到的组合还是成立。这样就得到结论：整数可分解为二互素数的平方和的充要条件是：不含因子4和。

顺便提一下，对有解的条件，还有一个更通用的证法。首先同样有必要条件，下面来证充分性。证明的主要思路还是构造法，对的解，先来构造。方法很简单，限定，则必有模p相等的两个数，相减即得。然后自然就有，又因为 ，所以就有。同样的证法也可以得到有解的充要条件是，但要注意d越大，要排除的情况越多，结论不一定成立。最后思考一些问题：
　　• 求证不能表示为整数平方和的整数也不能表示为有理数的平方和，并讨论有理数能表示为有理数平方和的充要条件；
　　• 证明的正解唯一。

7、佩尔方程

最后再来看一类很重要的方程：佩尔（Pell）方程 ，其中d为非平方正数。方程经过整理可以得到表达式（25），它表示是的近似分数。这不由得使我们想到了连分数，尤其是其精度误差，也许只有连分数能达到，下面就来证明这一猜测。令表示的第k个连分数，是方程的一组正解。

首先假设，由并根据渐进连分数的性质有，从而。如果，仅从分数的性质容易得到，而另一方面有式子（26），结合这两个式子可有，矛盾。所以必定有，接下来容易得到，从而我们知道方程的解必定是的渐进连分数的分子和分母。

下面就从这些渐进分数中寻找方程的解，通过计算渐进分数，可以得到，其中为余部的分母（参考课本）。并且从推导过程中可以得到仅在时为1而不可能为−1，其中c为连分数的循环周期。如此一来我们就得到了方程的所有解为，但要注意方程的值只能取±1其一，规律也是明显的，以后不加区分。

到这里为止，我们似乎已经解决了问题，但方程的解其实还没有一个清晰的表达方法，从方程本身的特点出发，也许还能有进一步的结论。方程的一大特点是等式值为±1，而左边是两个共轭数之积。不妨把方程的解与复数一一对应起来，由刚才的讨论可知任何满足的x都是方程的解，并且都是方程的解。这样我们自然要问，是否每个都可以表示为 的幂？

如果有 ，则有 ，而容易证也是方程的解。但方程不可能有比小的解，矛盾，故必然有，即方程的所有解都可以与表达式（27）中的复数一一对应。这样只要知道第一组解，就可以得到所有解，第一组解可以通过简单的遍历尝试得到，有些书上还给出了一定范围内的解的表，可供查阅。

　　
　　最后来考虑一下下面这几个问题：

• 求证时，讨论最小解下方程的取值；

• 不使用连分数理论讨论方程，先证明存在m使得有无穷多解，然后证明有解，最后证是所有解；

• 使用佩尔方程证明，如果有解，则有无穷多组解；

• 证明若佩尔方程的解满足，则它是最小解。

至此，到这儿。我们要介绍的初等数论的理论部分就结束了，后面几篇会跟着介绍下初等数论在工程实际中的应用。