动态规划与hdu_2082

[动态规划讲解(十分推荐)]
[hdu_2082链接]

动态规划

我们在面对多种可能与选择，并尝试寻找最优解或满足特定要求时，使用遍历处理数据常使时空复杂度过大。若将一个复杂的大问题转化为一个个小的步骤，在小的步骤中求出最优选择，并不断重复小的步骤，可以减少时空复杂度，该思想为动态规划。楼梯、背包、国王的金矿是动态规划的简单运用，hdu_2082中题目要求求出值<=50的单词数量，而不是值的可能最大值，因此在使用动态规划时需要绕一些弯(使用母函数求解或许会更容易)。

使用动态规划思考和实现代码需要考虑：
1.如何定义数组，数组的粒度，数组中存放值的含义。在背包和国王的金矿问题中，数组的下标表示可用资源的值，数组中存放的值表示该资源可获得的最大价值；hdu_2082中，数组下标表示单词价值，其中存放的值表示该价值下可存在的单词的数量。通过最终得到的数组，我们可以获得答案。
2.如何实现一个步骤。一个步骤的代码用于完成一次数组的更新，通过循环执行步骤，我们得到最终的数组，因此我们需要确定循环方式，循环中的判断以及循环内的执行语句。
3.如何确定下界。背包问题的下界是背包中什么都不放与只放了第一件物品的情况，我们需要做好数组的初始化与开始的赋值，保证数组在之后的循环可以正常更新。hdu_2082的下界更复杂，可以从步骤推导得到。

使用动态规划解决hdu_2082

理解题目后发现，输入为一串不确定长度，可重复的数字，输出为这些数字可以有多少个不同的组合，条件是该组合的值小于等于50。于是建立一个数组，数组下标为1，就存放值为1的数字组合数量，以此类推存放到下标为50，最终将该数组内的所有值相加(值为1-50的数字组合的数量相加)得到答案。
在实现时有几个难点：
1.如何建立循环
将数字一个一个加入以更新数组与先将1全部加入，再将2全部加入在实现时会有不同，后者更难想到，但会使程序更加便捷。
2.数组的更新从下标1向下标50进行，还是从下标50向下标1进行
由下标1向下标50进行更新将导致结果非常大，原因在于每次更新时：val[j] = val[j] + val[j - i * k]，我们需要调用下标更低的值。
3.如何处理下界
数组在一开始初始化为0，随后我们加入一个数字，例如数字3，此时val[3]应为1，他是由val[3] = val[3] + val[3 - 1 * 3]得到的，可以发现需要将val[0]先赋值为1来为循环开头。

hdu_2082代码及注释

#include
#include
using namespace std;
int main()
{
    int N, alp[27], val[51];  //alp=alpha 用于存放输入，val=value 储存下标值所对应的组合数量
    cin >> N;
    while (N--)
    {
        //下界的定义
        memset(val, 0, sizeof(val));
        val[0] = 1; 
       //读取输入并存放好
        for (int i = 1; i <= 26; i++)
            cin >> alp[i];
       //循环更新数组
        for (int i = 1; i <= 26; i++)                               //首先考虑所有1，再递增
            for (int j = 50; j >= 1; j--)                           //再考虑数组，从后向前更新
                for (int k = 1; k <= alp[i]; k++)                   //考虑所有的1（或其他值）
                    if (j >= i * k)                                 //值为j时能容纳多少个i呢
                        val[j] = val[j] + val[j - i * k]; //一个值对应的组合的数量为原有的数量加上新数字与剩余值对应组合数量的和
       //得到答案
        int all = 0;
        for (int i = 1; i <= 50; i++)
            all += val[i];
        cout << all << endl;
    }
}