R语言用Hessian-free 、Nelder-Mead优化方法对数据进行参数估计

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主要优化方法的快速概述

我们介绍主要的优化方法。我们考虑以下问题 .

无导数优化方法

Nelder-Mead方法是最著名的无导数方法之一,它只使用f的值来搜索最小值。过程:

  1. 设置初始点x1,...,xn+1
  2. 对点进行排序,使得f(x1)≤f(x2)≤⋯≤f(xn+1)。
  3. 计算xo作为x1,...,xn的中心点。
  4. 反射
  • 计算反射点xr=xo+α(xo-xn+1)。
  • 如果f(x1)≤f(xr)
  • 否则转到第5步。

扩展:

  • 如果f(xr)
  • 如果f(xe)
  • 否则用xr替换xn+1,转到第2步。
  • 否则转到第6步。

收缩:

  • 计算收缩点xc=xo+β(xo-xn+1).
  • 如果f(xc)
  • 否则转到第7步.

减少:

  • 对于i=2,...,n+1,计算xi=x1+σ(xi-x1).

Nelder-Mead方法在optim中可用。默认情况下,在optim中,α=1,β=1/2,γ=2,σ=1/2。

Hessian-free 优化方法

对于光滑的非线性函数,一般采用以下方法:局部方法结合直线搜索工作的方案xk+1=xk+tkdk,其中局部方法将指定方向dk,直线搜索将指定步长tk∈R。

基准

为了简化优化方法的基准,我们创建一个函数,用于计算所有优化方法的理想估计方法。

benchfit <- function(data, distr, ...)

β分布的数值说明

β分布的对数似然函数及其梯度

理论值

β分布的密度由以下公式给出

其中β表示β函数。我们记得β(a,b)=Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b)。在这里,一组观测值(x1,...,xn)的对数似然性为

与a和b有关的梯度为

R实现

我们最小化了对数似然的相反_数_:实现了梯度的相反_数_。对数似然和它的梯度都不被输出。

function(par) 
loglikelihood(par, fix.arg ,...)

 样本的随机生成 

#(1) beta分布
n <- 200
x <- rbeta(n, 3, 3/4)
lnl(c(3, 4), x) #检验
   

``````
hist(x, prob=TRUE)

拟合Beta分布

定义控制参数。

list(REPORT=1, maxit=1000)

用默认的优化函数调用,对于不同的优化方法,有梯度和无梯度。

fit(x, "beta", "mle", lower=0,...)

 

在约束优化的情况下,我们通过使用对数障碍允许线性不平等约束。

使用形状参数δ1和δ2的exp/log变换,来确保形状参数严格为正。

#取起始值的对数
lapply(default(x, "beta"), log)
#为新的参数化重新定义梯度
exp <- function(par,...) beta(exp(par), obs) * exp(par)
fit(x, distr="beta2", method="mle")

 

#返回到原始参数化
expopt <- exp(expopt)

然后,我们提取拟合参数的值、相应的对数似然值和要最小化的函数的计数及其梯度(无论是理论上的梯度还是数值上的近似值)。

数值调查的结果

结果显示在以下表格中。1)没有指定梯度的原始参数(-B代表有界版本),(2)具有(真实)梯度的原始参数(-B代表有界版本,-G代表梯度),(3)没有指定梯度的对数转换参数,(4)具有(真实)梯度的对数转换参数(-G代表梯度)。

 

 

 我们绘制了真实值(绿色)和拟合参数(红色)周围的对数似然曲面图。

llsurface(min.arg=c(0.1, 0.1), max.arg=c(7, 3), 
          plot.arg=c("shape1", "shape2"), nlev=25,
          plot.np=50, data=x, distr="beta", back.col = FALSE)
points(unconstropt\[1,"BFGS"\], unconstropt\[2,"BFGS"\], pch="+", col="red")
points(3, 3/4, pch="x", col="green")
   

我们可以用bootdist函数来模拟bootstrap 复制的情况。

boot(fit(x, "beta", method="mle", optim.method="BFGS"))

plot(b1)
abline(v=3, h=3/4, col="red", lwd=1.5)

负二项分布的演示

负二项分布的对数似然函数及其梯度

理论值

负二项分布的p.m.f.由以下公式给出

其中Γ表示β函数。存在另一种表示方法,即μ=m(1-p)/p或等价于p=m/(m+μ)。因此,一组观测值(x1,...,xn)的对数似然性是

相对于m和p的梯度是

R实现

我们最小化对数似然性的相反_数_:实现梯度的相反_数_。

  m <- x\[1\]
  p <- x\[2\]
  c(sum(psigamma(obs+m)) - n\*psigamma(m) + n\*log(p),
    m*n/p - sum(obs)/(1-p))
   

样本的随机生成

#(1) β分布

trueval <- c("size"=10, "prob"=3/4, "mu"=10/3)
x <- rnbinom(n, trueval\["size"\], trueval\["prob"\])

hist(x, prob=TRUE, ylim=c(0, .3))

拟合负二项分布

定义控制参数并做基准。

list(trace=0, REPORT=1, maxit=1000)
fit(x, "nbinom", "mle", lower=0)

在约束优化的情况下,我们通过使用对数障碍允许线性不平等约束。

使用形状参数δ1和δ2的exp/log变换,来确保形状参数严格为正。

#对起始值进行变换
mu <- size / (size+mu)
arg <- list(size=log(start), prob=log(start/(1-start)))

#为新的参数化重新定义梯度
function(x)
  c(exp(x\[1\]), plogis(x\[2\]))

fit(x, distr="nbinom2", method="mle")

#返回到原始参数化
expo <- apply(expo, 2, Trans)
   

然后,我们提取拟合参数的值、相应的对数似然值和要最小化的函数的计数及其梯度(无论是理论上的梯度还是数值上的近似值)。

数值调查的结果

结果显示在以下表格中。1)没有指定梯度的原始参数(-B代表有界版本),(2)具有(真实)梯度的原始参数(-B代表有界版本,-G代表梯度),(3)没有指定梯度的对数转换参数,(4)具有(真实)梯度的对数转换参数(-G代表梯度)。

 

 我们绘制了真实值(绿色)和拟合参数(红色)周围的对数似然曲面图。

surface(min.arg=c(5, 0.3), max.arg=c(15, 1), 
         )
points(trueval , pch="x")
   

我们可以用bootdist函数来模拟bootstrap 复制的情况。

boot(fit(x, "nbinom", method="mle")

 

plot(b1)
abline(v=trueval)
   

结论

基于前面的两个例子,我们观察到所有的方法都收敛到了同一个点。

然而,不同方法的函数评价(和梯度评价)的结果是非常不同的。此外,指定对数似然性的真实梯度对拟合过程没有任何帮助,通常会减慢收敛速度。一般来说,最好的方法是标准BFGS方法或对参数进行指数变换的BFGS方法。由于指数函数是可微的,所以渐进特性仍被保留(通过Delta方法),但对于有限样本来说,这可能会产生一个小的偏差。


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