Sqrt函数可视化实现

练习：Sqrt函数可视化实现

本次练习主要是熟练numpy和matplotlib的使用，通过手写Sqrt的实现，通过可视化对比手写函数与系统自带函数之间区别。

主要实现思路是：牛顿法

下面简单介绍一下牛顿法：(参考博客，参考知乎) 首先，有函数f(x) = x²，假设num是f(x)的近似值，那么num最接近f(x)，就有f(x)-num=0，也就是x² - num = 0.

那么如果画图，就是要求g(x)=x² - num 与g(x)=0 的最近点。

极限公式：

因此有：

从几何图形上看，因为导数是切线，通过不断迭代，导数与x轴的交点会不断逼近x0。

从上图我们可以看出，第一次A点，画出A的切线，在X轴上有交点，这个交点投影到曲线上，找到点B,同理，B点又做切线，找到一个交点，交点又投影到曲线得到点C，逐渐接近X0。

由前面的极限公式得出：

$$f'(x_n) = \frac{dy}{dx} = \frac{f(x_n)}{x_n - x_{n+1}}$$

推导得出：

$$x_{n+1} = x_n -\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

ok，到这里我们举一个实例

假设m=2,那么就有：

最终得出以下图例：手写的sqrt函数与系统自带的基本没有区别

、

# -*- coding:utf-8 -*-
# /usr/bin/python

import numpy as np
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
import math


def func(a):
    if a < 1e-6: #小于0.000001，直接返回0
        return 0
    last = a
    c = a / 2     #该值一定程度上影响迭代次数
    while math.fabs(c - last) > 1e-6:#精度控制
        last = c
        c = (c + a/c) / 2
    return c


if __name__ == '__main__':
    mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False #保证win系统图片上的中文显示正常
    x = np.linspace(0, 30, num=50)  #0-30均分50份
    func_ = np.frompyfunc(func, 1, 1) #转换为ufunc函数方便使用
    y_h = func_(x)
    y_s = np.sqrt(x)#调用系统自带函数求值
    plt.figure(figsize=(10, 6), facecolor='w')#设置图大小和背景色
    plt.plot(x,y_h, 'ro-',label='手写', lw=2, markersize=6)#(画出x与y_h的曲线，用红色小圆圈标记(x,y)在图上的位置，
    #label下面legend函数要调用的，相当于注明这条曲线的意义，lw线宽2，小圆点6)
    plt.plot(x,y_s, 'b-',label='系统自带', lw=2, markersize=6)
    plt.grid(b=True, ls=':')#显示网格
    plt.legend(loc='lower right')#选取两条曲线的注明所在方位
    plt.xlabel('X', fontsize=16)#坐标轴上的内容及大小
    plt.ylabel('Y', fontsize=16)
    plt.title('牛顿法计算平方根', fontsize=18)
    plt.show()

关于分母的取值影响迭代次数的研究

import numpy as np
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
import math


def func(b):
    if b < 1e-6:
        return 0
    a = 1000
    last = a
    c = a / b
    count = 0
    while math.fabs(c - last) > 1e-6:
        last = c
        c = (c + a/c) / 2
        count = count + 1
    return count


if __name__ == '__main__':
    x = np.linspace(2, 500, num=100)
    func_ = np.frompyfunc(func, 1, 1)
    y = func_(x)
    print(x,y)
    
>>>[9 7 6 5 5 4 3 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9]

这里我们假定对1000开方，取出2-500之间的100个数，得到的结果是却是迭代次数从9最低降到3又升到9。