让几何图形舞出绰约风姿

这两天研读曹培英老师《跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究》第三章《空间观念》，专业术语较多，涉及许多心理学知识，需要反复琢磨。

1.空间知觉到空间表象，再到空间想象，这三种认知水平是递进发展的。同一年龄段的小学生，不同的个体表现出不同的水平。例如，指认圆柱的高，个别学生能正确指认图柱实物的高，但在指认圆柱图形的高时出现了错误，表明这类学生只达到“实物识别”即空间知觉的水平。有的学生不仅能正确指认圆柱图形的高，表现出“图形识别”即空间表象的水平，还能根据提示语“长方形绕着它的一条对称轴旋转”，在圆柱正视图上正确指认圆柱的高，表明这类学生已经达到了“剖面识别”即空间想象的水平。根据不同认知水平，教学时需要采用不同方法帮助学生提升空间想象力。不仅观察，也要画图帮助建立表象，更要动手实践验证，环环相扣。

2.空间能力是特定领域内的思维能力。想象的难易，很大程度上取决于想象的具体内容：简单的形体，小学生都能想象；复杂的形体，大学生也难以建立表象，更不要说想象。比如，一根表面积是138平方厘米的长方体木料，相对的两个面是正方形，正方形的边长小于长方体的长，从木料一头锯下一个最大的正方体，剩下部分的表面积为98平方厘米，求锯下的正方体表面积。凡能正确解答的学生他们的头脑里都能清楚的想象出，木料圆表面积减去剩下部分表面积的差，是锯下的正方体4个面的面积。训练学生达到空间想象水平的能力，上述问题才能灵活解决，典型的空间想象力对解决问题极有帮助，分析综合能力增强。

3.新课程标准关于空间观念内涵精炼概括。小学生空间观念的表现，主要就是在所学几何形体的现实原型、几何图形与它们的名称、特征之间建立起可逆的“刺激一一反应（联想）”。“刺激一一反应（联想）过程，包含了图形的抽象，图形及其位置关系的识别，图形性质的再现，图形的运动变化，以及立体图与其三视图、展开图的转换。强调立足教学实际，想象以空间表象水平的再认识、再现及联想为主。由体构形，见形思物。展开关联，多维转换。位置变换，双重编码……

怎样提升培养空间观念的教学水平。这里曹老师通过三个方面的引领，让我们懂得了如何去提升学生的空间观念。

第一个方面借鉴相关理论。

这里面曹老师借助具体的例子为我们讲了皮亚杰、范式夫妇以及杜福尔等一些心理学家关于学生空间观念培养的一些经典理论，凭借鲜活的例子帮助我们解读这些理论。我们课标倡导“教育以学生发展为本”，这里曹老师就通过了体积概念教学素材选择引发我们反思，很多老师在进行教学展示的时候，通常是运用丰富多彩的情境与素材，比如说身边物体大小比较、等长比粗细、等积比薄厚、等积比变换等，让孩子去联想它们所占空间的大小。尽管老师做了精心的安排，但是曹老师还是提醒我们要了解学生的认知起点，这里给我们的启示是培养学生空间观念，要立足已经具有体积守恒观念的认知起点，而不能低起点教学，耗时低效。低估学生的认知水平与能力，往往浪费了教学宝贵的时间。

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皮亚杰儿童集合认知理论认为，儿童最初建构拓普（如连通性，封闭性和连续性等）关系，后来是射影（直线构成等）以及欧几里得（多边形，平行和距离等）关系，与几何学的建立、发展顺序相反。教师真正的去了解孩子的认知基础以及学生学习心理特点很有必要。

曹老师还对比了范式理论的几何思维发展理论和杜福尔的几何理解水平，让我们能更加体会到他们所采用的不同的策略，范式理论的主要特点在于揭示几何思维水平的发展，既是循序渐进的，又是不连续的记忆，学习进程中有跳跃，这就表明了思维水平的定性差异。杜福尔认为几何学中涉及四种理解：知觉性理解、构图性理解、论述性理解、操作性理解。涉及三种认知过程：视觉过程、推理过程、构造过程，这都是学生必须要独立发展的，并且要尊重不同学生视觉过程和推理过程的发展。几位专家的观点引起我们思考的共通之处是，如何面对不同学生几何学习中的三种认知过程，促进不同的学生得到不同的发展，将是我们永恒研究的课题，深入读懂学生也成为教学的前提关键。

第二方面，加强两种直观。

其一视觉直观充满想象的张力。小学生形成、发展空间观念依赖于观察与操作，属于直观教学范畴，观察是智力的门户。观察能力的发展主要表现为：从感知强刺激充分到感知弱刺激充分；从认识单一要素到认识要素关系；从熟悉标准到熟悉变式图形。与之相对应的教学策略有三个，比较辨析图形的异同，以运动变化的眼光观察图形，在各种背景中识别基本图形。教学中往往综合运用这些策略。曹老师还借助了求阴影部分面积时多种解决方法、策略的思考，让我们体会到了用运动变化的眼光来解决问题的巧妙，让我们感到几何图形会舞出绰约风姿。

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      其二动作直观支撑想象的知力。小学图形与几何教学中的动作直观主要有两类，即操作实验活动与画图。在整个小学阶段，触觉、运动觉与视觉的协同活动始终是获得空间观念的有力支撑。所以，我们应该在学生想象受阻时提供操作材料，动手实验依然是行之有效的对策。当然，根据不同学生的水平，我们也可以提出不同的要求，空间观念强的学生凭空想象，空间观念弱的学生看图或实践。

在画图指导当中，第一学段，我们尽管没有要求，但是我们也要适当的渗透，而第二学段，我们就应该把它作为一个重要的解决问题的策略。强调画图用尺子和铅笔，帮助学生养成好习惯，促进学生空间观念的发展，丰富学生的几何认知。

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第三个方面重视两个“结合”，一是语言与形象结合。这里面主要是从直观辨认图形到语言描述特征；从使用日常用语到使用几何语言两个方面着力。在教学当中要重视抽象概括，并采用适当的语言，把图形及其位置关系的本质特征表示达出来。二是数与形结合。数形结合，也是我们需要重视的一个策略。就像华罗庚所说：数让形更入微。曾经一位老师上练习课时就借助公式推导过程设计练习，抓关联促发展，使空间观念得到了激活与提升。