环论与域论
群是有一个代数运算的代数系统，但我们在数学中，如高等代数中讨论的很多对象比如：数、多项式、函数以及矩阵和线性变换等，都是有两个代数运算的代数系统，两个代数运算的代数系统不仅有非常重要的现实意义，而且相比于一个代数运算的系统会有一些有趣的性质。而在具有两个代数运算的系统中环和域便是很好的代表。
一、环
1.1 环和子环
具有两个运算的系统比较多，性质也各有不同，我们必须先从中抽取出“最小”的系统才能有通用性。各种数系、多项式、矩阵的加法和乘法是最具代表性的双运算系统，以它们为参考可以得到比较有用的系统。比如矩阵（线性空间）为双运算系统提供了许多丰富的可能性，相关的例子也很多。
考察上面提到的这些常见具体系统，它们的加法群都是交换群，故假设新的抽象系统的一个运算也为交换群。并且称其为加群，加群的单位元称为零元素（记作0）。加群的所有表达式都可以写为加减法，加法的“幂”可以用倍数表示。同时我们可以得到以下这些常见的变形都是成立的，后面可以直接使用。
如果我们要定义我们的最小且一般的系统，结合上面提到这些具体的双运算系统，我们会发现相对于加法运算群系统中的乘法群就比较弱了，但至少组合律是成立的，所以它是一个半群。并且常见的系统中乘法和加法满足以下分配律。至此我们就可以定义新的系统了，一个运算为加法群，另一个运算为半群，且它们满足分配率，这样的系统称为环（ring），一般用字母 R 表示，乘法可交换的环叫交换环。乘法如果有单位元，按照惯例一般记作1。
如果你仔细观察分配率，可以发现其中有同态映射的影子, 也正是因为它满足这样的性质才使得我们的代数系统可以有更多其他有用的性质。现在来看看加法在结合了乘法后，都有哪些性质，我们以前熟悉的表达式变形还能不能成立。首先对于特殊的 0 元素，因为 ，容易有，零元素在乘法下将所有元素归为 0。再来看 ，因为，故有。这些都是以前就熟悉的表达式，它们在环里都是成立的。下面是一些更多成立的常见表达式。
很自然地，可以定义子环，它是进一步研究环结构的基本定义。子环除了是加群的子群外，还需对乘法封闭，这些比较容易证明。和单运算系统一样，可以定义环同构，如果两个环 之间存在一一映射 ，且映射保持运算（公式（6）），则称同构。
由于现在拥有了两个代数运算，它们之间相互作用，往往会有更多有趣的性质发生，但同时我们会发现在证明的同时也需要更多较为巧妙的构造。下面我们来看代数学中的 Kaplansky 定理：对于有单位元非交换环来说，如果环 中元素 有不止一个右逆，那么 有无数多个右逆。因为考察有单位元的环，如果元素 a 有至少两个右逆元，记逆元的集合为。考察集合，容易证明它们都是元素 a 的右逆元且互不相等，从而这两个集合存在一一映射。如果集合是有限的，则存在，化简后两边同时乘以得 ，从而所有右逆元相等。这就导致了矛盾，所以右逆元必然有无穷多个，得证。而应该注意的是有限环最多只能有一个右逆元。下面还有几个小的思考题，供读者消遣。
• 每个元素都是幂等元 的环叫布尔环，求证 且；
• 环 R 有单位元，求证加法交换律可由定义的其它部分证明；（提示：分配率的不交换性）
• 求证：唯一的左（右）单位元必定是单位元；（提示：构造）
• 如果可逆，则也可逆；（提示：构造）
• 求证：交换环中所有满足的元素组成子环。
1.2 零因子
零元素在环中有着特殊的地位，它如同黑洞一般讲所有元素吸入，使得环的局部呈现坍塌。反之，环的整体结构还是得靠那些能逃脱 0 的“引力”的元素撑起来。为此定义 中的 分别为环的左、右零因子，不是零因子的元素叫正则元，正则元就是我们要找的“支撑元素”。无零因子是对乘法的一个约束，它本质上是要求乘法封闭。有一类特殊的零因子满足 ，它们被称为幂零元。
显然有无左零因子和有无右零因子是等价的，这样的环也称为无零因子环，交换的无零因子环叫整环（domain）（有些教材还要求含单位元，我们这里不采用这种定义）。对无零因子环，若有 或 ，由分配率显然有 ，即消去律成立。反之若左（右）消去律成立，也容易得到环无零因子，由此消去律和无零因子是两个等价概念。
若对于无零因子环有左单位元 ，由于 ，则有，故环有单位元，用同样的方法可证其左逆元也是右逆元。这个例子表现了零因子的概念在建立等式上的丰富作用，善于构造巧妙的表达式，可以得到很多有用的结论。但是有些场景下可能不存在单位元，对 不能急于消去 ，而是要迂回使用消去律，比如若无零因子环有幂等元，不能直接消去得到，而是先乘上任意元素，然后再消去 证明 就是单位元。下面有几个思考题：
• 若 ，但它们的单位元不同，求证 S 的单位元是 R 的零因子；
• 含有至少 3 个元素的布尔环不是整环；
• 若有限环中有 ，则。（提示：可以参考Kaplanskey定理的证明）
1.3 特征
阶是群的重要参数，现在来看看加法群中元素的阶，如果其中有最大值n，由于加法群是交换群，用反证法可知所有元素的阶都是 n 的因子。加法群的阶在环中还有更多的性质，我们将最大的阶称为环的特征，记作，当然特征也可以是无穷。如果乘法有单位元且阶为 n，则有，故 1的阶即是环的特征。特征为 p，且恒有 的环叫 p-环，读者可以尝试证明 p-环都是循环环。注意我们下面谈论的环的阶都是加法群中的情况。
环中的乘法运算有个很有用的性质，就是倍数可以任意移动组合（公式（5）），这个特征结合无零因子可以得到很好的性质。先假设环中有一个阶为 n 的元素 a，那么根据，容易知道 b 的阶为 n 的因子，并进而得知环中所有元素的阶都是 n。再假设 n 不是素数，它有分解 ，则有，从而必有或，这与 a 的阶为 n 矛盾。综合以上分析可知，无零因子环元素的阶要么都是无穷，要么都是某个素数 p，有限无零因子环的阶当然都是 p。
• 若交换环的特征为p，则有；
• 求证：p-环没有幂零元。
二、除环和域
2.1 除环和域
有些环在乘法上有更多的性质，有必要专门讨论它们。对于那些有单位元的环，其中存在逆元的元素一般称为单位（unit）。容易证明环中的全体单位在乘法下构成群，它被称为单位群。对于有限环，总有成立，如果 a 是非零因子，则有 。继而对任意 x 有 ，即得到为单位元，而是 a 的逆元。总结以上就得到，有限环的非零因子是单位。
除零因子外，每个元素都是单位的环称为除环或体（skew field），交换除环也叫域（field）。容易证明除环没有零因子，由此可知在去除零元素之后，乘法仍然是封闭的，它们能够形成一个群。数系是除环和域的典型代表，整数环有单位{−1,1}，有理数、实数、复数都是域的例子。由于域的乘法可交换，可以定义为分式，你可以证明一般方式的加法、乘法、除法规则在域里也是成立的。
• 若环R中的任何非零元素a，都有唯一的b∈R使得aba=a，求证R为除环。（提示：先证无零因子）
你可能有一个疑问，存不存在除环呢？乘法有单位元和逆元，却不可交换的环存在吗？还记得我们前面介绍过的四元群吗，由它们作为“超复数”的单位形成四元数 ，可以证明它就是非交换的除环。这是历史上首次发现的非交换除环，由哈密尔顿（Hamilton）首先发现，因此也叫哈密尔顿四元数除环。后面的课程中，还会介绍到它作为数满足的一般性质，这在历史上是一个重大的发现。对于有限除环，魏德邦（Wedderbum）证明了它的必定是交换的，故必然是域。由前面的讨论我们容易有，有限无零因子环必定是除环，再由魏德邦定理知它又必定是域。
之前群的定义中，我们讨论了一次方程有解与群的等价性。在除环里也有类似的结论，而且所需条件更弱。首先除环中一次方程（7）都有解，反之若环中满足方程（7）其中之一有解，下面来看它是否是除环。首先要证无零因子，即对任意，证明 。可以构造一个含有 而值为 b（或a）的表达式，利用一次方程的有解性可有 和 ，从而 ，则环无零因子。接下来找单位元，设的解为 ，利用消去律（见上面的讨论）可知 为右单位元。再由知任何元素a有右逆元，从而乘法（除去零元）是一个群，该环为除环。综合以上讨论，环为除环的充要条件是一次方程（7）之一恒有解。
2.2 商域
域的结构是最常见的，它的结论比较丰富，我们希望能把一个环放在域中，以便获得更多的结论。显然不是所有的环都可以扩展为域，它至少要满足无零因子和可交换。自然地我们想问，是不是该先考虑无零因子的不可交换环扩展为除环，可惜这个结论已经有人举出反例了，比较复杂，这里仅当结论。那么无零因子可交换环（整环）是不是都能扩展为域呢？这里就来讨论这个问题。
要想成为域，需要补充单位元和逆元，但硬要把它们定义出来还是很困难的。回顾一下我们在实数系统介绍的扩展方法，可以用数对来定义扩展的数系，再将原数系嵌入到新数系中。添加单位元和逆元本质上需要做除法，和整数扩展为有理数的过程完全一样，定义元素对的集合。当时，定义相等，直观上讲其实就是定义了分数 。
相等关系下的等价类正是我们期望的系统，首先证明新系统的如下加法和乘法定义是良性的，即等价类中代表元的选取不影响结果。然后证明，新系统在这个运算定义下形成一个域，最后通过映射将环嵌入到这个域中。这就证明了无零交换环总可以扩展为域，这个域也叫环的分式域或商域。
三、特殊环
3.1 循环环
循环群是最简单的群，那这里先分析一下加法群是循环群的环，它称为循环环，设加法群的生成元为 a。回顾一下循环群，若它的阶为无穷，它与整数群同构且同时也是生成元，若阶为有限 ，它与 的剩余类群同构，且任何与 互素的剩余类都是生成元。显然整数集合和任何剩余类集合在加法和乘法定义下构成环，分别称为整数环和模 剩余类环，下面就来分析一下循环环和它们之间的关系。
先来看循环环，它的所有元素是或。它们在加法群下，每一个不同的阶仅有一个同构的循环群，但这一点在环里却是不成立的。现在来考虑循环环中的乘法，首先对任意两个元素有，故循环环必定是交换环。其次由乘法的封闭性，一定有，而反过来若在一个循环群上定义乘法，它也一定构成环。由此可知，的任何取值都等价于一个环结构，当然你要清楚，不同的 对应的环是有可能同构的。
对于无穷阶环，加法生成元只有，当 取不同值时，对应的环一定互不同构，而容易证明和对应的环是同构的。对于阶环， 只能取个值，而这些值对应的环还有可能是同构的。使用初等数论的一些简单推导，容易证明可以通过选取适当的生成元，使得 为的因子。从而的每个因子代表了一类同构的环，同不同因子对应的环是不同构的。
这样循环环的所有同构环就清楚了，每一个非负整数对应一个无穷环，每一个因子对应一个 阶环。最后来看看整数环和剩余类环，显然它们的生成元满足 ，而它们的子环满足 。的所有子环与正整数一一对应，的所有子环与 n 的正因子一一对应，而它们包含了除 之外的所有循环环。换句话说除 之外，每个循环环与一个或的子环同构。
现在做一些常规讨论，Z 只有可逆元，所有元素为非零因子，中与 互素的都是可逆元，而其它都是零因子。特别地， 的每个元素可逆，故它是一个域，而且还是一个 p-环。由于 和 都有单位元，单位元的阶就是它们特征，所以Z的特征为无穷，而 。
3.2 多项式环
将环向多维空间扩展，是得到更多复杂环的常用方法，扩展的形式也是多种多样的。矩阵环可以得到非常丰富的环结构，简单一点的还有在线性空间的简单拓展，比如无理数环和复数环 ，特别地叫做高斯整环。
线性扩展中最一般的当属多项式，多项式一直是代数中的重要概念，它是一个基本的代数对象，现在从环的角度来分析一下多项式系统。先从最常见的一元多项式说起，它是具有以下形式的表达式，其中是环 的元素， 称为 次项， 称为 次项系数，系数非零的最高次数称为多项式的次数。
大家最初是在域的环境下认识多项式的，这里的限制要求重新定义对多项式的一般认识。首先多项式中的加号和中的“乘号”目前仅是一个记号，两个多项式相等的充要条件是每一项的系数相等，而不是最终的值相等。现在需要重新定义运算，两个次数相同的项之和为，而两项之积为，两个多项式相乘时按分配率展开。以上定义对域上的环是不需要定义的，但在环下必须有这样的精确说明。
容易证明在环 R 上的多项式集合在以上加法和乘法定义下构成环，一般记作。显然是的子环，故对成立的一般对 也一定成立，但反过来的结论一般要证明。有一些比较显然的结论，比如如果有单位元则也有单位元，如果可交换则也可交换，如果R为整环则R[x]也是整环。现在来看看的零因子有什么性质，假设，设g(x)的首项系数为，则的次数比小。如果再假设环可交换，则有，用归纳法可知存在，使得。总结以上讨论有，交换环的元素是零因子的充要条件是，存在。
整数环的分解性（算术基本定理）是初等数论的重要内容，在一般环中仍然可以进行这样的讨论，后面会给出专题。除了多项式环，还有一个重要的高斯整数，也是重要的环。多项式要扩展成域，必定引入有理分式域。
四、 同态与理想
同态定理和正规子群在分析群的结构中起到了重要的作用，我们可以对环进行同样的讨论。若环到另一个系统有映射 ，满足公式（1），这样的映射称为同态映射。若映射为满的，则称同态，记作。容易证明也是环，且的零元、负数、单位元、逆元、可交换等性质都会映射到中，但零因子却不一定保持。
• 求证： 的充要条件是 。
在群中已经知道，任何同态映射都对应于一个正规子群（同态核），同样环同态的研究可以等价到对同态核的研究。和群一样，环同态的同态核就是R2中零元素的原像。容易证明同态核是一个子环，正如正规子群的特殊性一样，它也不是普通的子环。考虑零元素的归零性，同态核一定满足以下条件。一般地，环R中的加法子群N如果满足以下右边一式，它称为环的左（右）理想，两式都满足的叫理想，记作，容易证明理想（包括左右理想）都是子环。
由定义知理想首先是加法群的子群，故它在加法下是正规子群。容易证明，加法群里到正规子群陪集的同态映射在环里也是同态映射（乘法封闭），故环的每个同态映射也与环的理想一一对应，理想担当起了正规子群的作用。和正规子群一样，理想不具有传递性，即理想的理想不一定是理想。容易证明，理想的交集还是理想，循环环的任何子环都是它的理想。对一般环，显然和分别是它的左右理想。
理想是一种特殊的子环，每个环 都有 和两个平凡理想，其它理想叫真理想，没有真理想的环叫单环。从理想的定义知，对任何有，相比较群来看，这个结构是“坍塌”的，由此联想到单环和“好”的环之间一定有什么关系。好的环当然是指乘法形成群的除环和域，若它们有非零理想N，由 知 ，从而，也就是说除环和域必定是单环。
对于任何环，因为是它的左理想，如果 R 没有非平凡的左理想，则为 R 或 {0}。如果存在 ，容易证明a的生成环为理想，从而该生成环就是 R，它是一个零乘环。反之如果 总成立，即一次方程总有解，故 R 是一个除环。综合以上讨论，如果环没有非平凡的左理想（或右理想），它要么为零乘环，要么为除环。
• 若且有单位元，求证 ；
• 求证：仅有有限个理想的整环是域。（提示：考察所有左理想 ）
从前面的讨论已经知道，环R的理想N的所有陪集形成一个环，它与以理想为核的同态映射的像同构，被称为商环，记作。与群论中一样，这个结论称为环的同态定理，它是解析环结构的基本工具。环的同态定理同样可以得到它的三个同构定理，它们与群的同构定理非常类似，就不多做说明了。
（1）第一同构定理：；
（2）第二同构定理：；
（3）第三同构定理：。
• 讨论高斯整环在主理想下的商群，证明其有个元素，并列出代表元。（提示：先从虚数分大类，再讨论整数类）
五、特殊理想
5.1 主理想
对于环的任何子集，我们可以用它来生成最小的环和理想。容易证明，元素 a 生成的加法子群是个循环环，所以它就是 a 的生成子环。由元素 a 生成的理想叫一个主理想（Principal Ideal），记作 ，下面来看看主理想的结构。首先主理想中一定包含 a 生成的加法群，要求它是理想就必须包含，在加法的封闭性下它们具有统一格式 。接下来根据乘法的封闭性知，其中还必须包括，它的统一格式被扩展为。现在你可以证明，这种形式的所有元素构成一个理想，故它就是 生成的主理想。
总结就得到主理想的每个元素具有式（3）的形式，其中整数（构造步数是有限的）。在特殊情况下，会有更简单的表达式，读者可以自行推导。比如如果乘法可交换，则形式变为。当有单位元时，表达式可统一为。既可交换又有单位元，则简化为。特别地，循环环的每个理想都是主理想。
现在再来看由多个元素生成的环，它的结构形式是复杂的，但对理想却又比较好的结果。首先用归纳法容易证明，如果为理想，则 也为理想。这样对于任何子集， 是一个理想，而且显然它由 生成的最小理想，从而有下式成立。
5.2 素理想和极大理想
我们已经提到过，一般的环其实很不 “完美”，有时候我们更希望研究的是整环、单环、除环或域。借助于同态定理，可以尝试取适当的理想，将商环变得“完美”一点。首先来考虑商环 是整环的情景，整环首先无零因子，如果有 ，则其中必有一个为 N。展开后就得到，如果有 ，则必定有 或 。当然整环还要求可交换，在一个交换环中，满足以下条件的理想叫素理想。容易证明，交换环的商群 是整环的充要条件是 N 为素理想。
根据第三同构定理，要使 为单环，必须不能有比 N 更“大”的理想。准确的定义是：如果，且除外没有包含 N 的理想，则 N 称为 R 的极大理想。比较显然，N 为极大理想的充要条件是为为单环。综合前面单环的结论可知，如果 R 有单位元，则 为除环的充要条件是 为极大理想，加上可交换的条件，结论就对域也成立了。
• 求证：Z 的全部素理想为 {0} 和 ⟨p⟩；
• 求证：Z 的极大理想只有 ⟨p⟩。
六、直和分解
6.1 直和
在群论中我们看到，直积分解是解构群的最好的方法，这个思想同样可以应用到环中。对环 ，容易证明集合 在以下运算下也形成环，R 一般称为 的外直和。R 的理想 与同构，且，而且每个元素的和分解是唯一的。
鉴于以上讨论，当环 R 有理想 满足：（1）；（2）R中的任何元素a可以唯一表示为 。则称 为 的内直和，简称直和，记作 。
定义中第二个条件有更容易使用的等价形式，一个是零元素的表示法唯一，另一个是每个直和项的独立性（公式（8））。第二个等价条件说明了直和项的无关性，即 ，如果有，则 ，所以 。进一步如果 有直和分解 ，可以有公式（9）成立，即任何元素的运算都能映射到各个直和项中。直和分解是一种无关性分解，它将大的环分解为无关的小环来研究。
6.2 理想与直和
直和分解使得我们可以在更小的理想中分别讨论环的性质，现在来看看一般理想与直和分解的关系。首先考虑直和项的理想，则对任意，有 ，同理有。从而有，即直和项的理想也是直和的理想。由这个结论很容易有，直和项的理想Nk⊴Rk的直和也是R的理想（公式（10））。
反之对任何一个理想 ，也是理想，那么 N 是否是 的直和呢？本质上只要证明任何 ，它的直和分解满足 。要使得这个性质成立，需要借助单位元，，故可以假设 R 存在单位元，使得反命题成立，因为单位元的直和分解便得到 的单位元。
现在的问题自然是，什么样的环有直和分解？如何进行直和分解？假设 R 的特征为 n，且有互质分解，我们希望 R 可以分解为特征值分别为 的直和项。由于互质，则存在，考察集合和。首先容易证明它们都是理想，再由于，故有。假设 ，则容易有，进而得到，所以 ，从而 。
最后来计算的特征，根据的定义先有 ，再由 n 是 R 特征有，从而。至此结论得证，如果对 n 进行素数分解，就可以将环分解为幂次特征的直和项（公式（11））。
6.3 直和的应用
先来粗略讨论一下环的存在性，显然任何阶的交换环都是存在的，比如。哈密尔顿环给出了无穷阶非交换环的例子，我们现在想知道有限阶的非交换环存在吗？在群论中我们知道，任何有限交换群都可以按不变因子进行直和分解。对于环 R 的加法也有，其中 。如果不含高于一次的因子，则为循环环，从而是可交换的。这样就知道，一个非交换环必定是含有有平方因子。
反之对这样的 n，其实也是可以构造出一个非交换环的，我们只需构造出一个非交换的阶环，它与任何阶环的直和便是 n 阶非交换环。对于一个 阶环 R，考察二元组集合，定义加法和乘法如下，容易证明该集合在定义的加法和乘法下构成非交换环。至此就得到了有限阶非交换环存在的充要条件是，环的阶含有平方因子。
最后我们用环的语言来描述“中国剩余定理”，回顾定理的内容：若 互质，则方程组在模下有且仅有一个解。站在环的角度，的同余类是一个主理想环，因此考察环 R 的理想。互素可以说成是，而要证的结论则是公式（13）。
首先容易验证 是同态映射，如果能证明它是满射，由同态基本定理可以得到结论。证明方法和初等数论中本质是一样的，我们需要为每一维构造。这个条件等价于且，或者说。如果环有单位元，该等式可以从轻易推得，故结论得证。