2019-10-03 费马平方和定理的一个精彩证明

继续 “2次整环素性分析”中的结论：

既然q无法整除y,存在整数m使得

则

根据 恒等式:

得到

以上概括为：
定理：

在“2次整环的素性分析中”我们假定D为正奇素数，其实该假设可以适当泛化
一般来说，对为负奇数 以及 也适用，所有推理保持不变

问题：

方程

假设存在 ，则必有

不妨设

两者都是素数，则商必然是一个可逆元,因此

至此，得到：

也就是 ，矛盾

所以不是素数， 不过素数可以导出不可约，不表示 不可约 就一定为素数，
也就是 不是素数 并不意味着 一定可约

当 是 唯一因子分解域时，素数和可约才能等价 起来，所以
至此，得到结论

定理：




是否满足唯一因子分解，如果不是，则不确定；如果是 ，则必然有

下面举个应用：
满足唯一因子分解（证略，其他文章将补充） ，所以有无整数解 取决于

这意味着 这些就是p的全部2次剩余了 ，一般的形如的数都是p的2次非剩余.

综上得到定理：

而这个结论实际上就是 费马平方和定理
该定理由法国数学家费马在1640年提出，后被欧拉于1747年证明

这里我们通过2次整环的素性分析，自然而然的得到了一个精彩的证明。