《数据结构与算法之美》19——二叉树（一）树、二叉树

概念

树：是一种数据结构，像一颗倒挂的树。树的每个元素叫作“节点”；用来连续相邻节点之间的关系，叫作“父子关系”。

关于高度（Height）、深度（Depth）、层（Level）

• 节点的高度=节点到叶子节点的最长路径（边数）。
• 节点的深度=根节点到这个节点所经历的边的个数。
• 节点的层数=节点的深度+1。
• 树的高度=根节点的高度。

树的高度、深度、层

关于二叉种种类：

• 二叉树：每个节点最多有两个子节点的树。
• 满二叉树：除叶子节点外，每个节点都有左右的子节点的树。
• 完全二叉树：叶子节点都在最底下两层，最后一层的叶子节点都靠左排列，并且除了最后一层，其他层的节点个数都要达到最大。

如何存储

要存储一棵二叉树，有两种方法，一种是基于指针的链式存储，一种是基于数组的顺序存储。

链式存储法

链式存储法

顺序存储法

顺序存储法

存储方式：如果节点X存储在数组中下标为i的位置，

• 下标为2 * i的位置存储的是左子节点；
• 下标为2 * i + 1的位置存储的是右子节点；
• 下标为i / 2的位置存储的是父节点；

注：如果存储的不是完全二叉树，会浪费比较多的空间，二叉树越稀疏，浪费的空间越多。

二叉树的遍历

经典的方法有三种，前序遍历、中序遍历和后序遍历。

• 前序遍历：对于树中的任意节点来说，先打印这个节点，然后再打印它的左子树，最后打印它的右子树。
• 中序遍历：对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后打印它本身，最后打印它的右子树。
• 后序遍历：对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后打印它的右子树，最后打印这个节点本身。

前序遍历 vs 中序遍历 vs 后序遍历

实现代码：

void preOrder(Node* root) {
    if (root == null) return;
    print root // 此处为伪代码，表示打印root节点
    preOrder(root->left);
    preOrder(root->right);
}

void inOrder(Node* root) {
    if (root == null) return;
    inOrder(root->left);
    print root // 此处为伪代码，表示打印root节点
    inOrder(root->right);
}

void postOrder(Node* root) {
    if (root == null) return;
    postOrder(root->left);
    postOrder(root->right);
    print root // 此处为伪代码，表示打印root节点
}

时间复杂度：O(n)。前、中、后序遍历对每个节点最多访问两次。

课后思考

1.给定一组数据，比如1，3，5，6，9，10。你来算算，可以构建出多少种不同的二叉树？

有两个因素：

• n个数构成的二叉树有a种
• n个数的组合有b种。

结果等于a * b。即卡塔兰数。https://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number

2.我们讲了三种二叉树的遍历方式，前、中、后序。实际上，还有另外一种遍历方式，也就是按层遍历，你知道如何实现吗？

利用队列的特性，步骤如下：

1. 当前节点（第一个元素是根节点）入队（当前层数为1），然后指针指向当前节点。
2. 把当前节点的子节点入队，并记录当前层数（当前节点层数+1）。
3. 循环1-2步，直到指针指向队尾。
4. 此时队列是按层序遍历的链式队列。
5. 遍历队列输出即可。

代码实现：

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     public int val;
 *     public TreeNode left;
 *     public TreeNode right;
 *     public TreeNode(int x) { val = x; }
 * }
 */
public class Solution {

    public IList LevelOrder(TreeNode root)
    {
        if (root == null) return new List>();
            
        TreeLinkedList head = new TreeLinkedList(null, -1);
        head.next = new TreeLinkedList(root, 1);

        TreeLinkedList curr = head.next;            
        TreeLinkedList tail = head.next;

        while (curr != null)
        {
            if (curr.node.left != null)
            {                    
                tail.next = new TreeLinkedList(curr.node.left, curr.level + 1);
                tail = tail.next;
            }

            if (curr.node.right != null)
            {                    
                tail.next = new TreeLinkedList(curr.node.right, curr.level + 1);
                tail = tail.next;
            }

            curr = curr.next;
        }

        IList result = new List();

        curr = head.next;
        while (curr != null)
        {
            result .Add(curr.node.val);
            curr = curr.next;
        }

        return result;
    }
        
    public class TreeLinkedList
    {
        public TreeNode node;

        public int level;

        public TreeLinkedList next;

        public TreeLinkedList(TreeNode node, int level)
        {
            this.node = node;
            this.level = level;
        }
    }
}