有限与微小的面包
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刚体运动学（4）：凯利-克莱因参数

动机

涉及到欧拉角的矩阵变换含有大量的三角函数，不适合用于数值的计算。为克服这一障碍，在历史上，费利克斯·克莱因在求解复杂的陀螺仪积分问题时，便使用了一组四个的参数来描述陀螺仪的运动。于是这四个参数在后来就被称为凯利-克莱因参数（Cayley-Klein parameters）。

记号

凯莉-克莱因参数均为复数，记为，

存在约束条件

转动算符可以被进一步表示成

\rm{R } (\alpha,\beta,\gamma,\delta) = \begin{bmatrix}\frac{1}{2}(\alpha^2 - \gamma^2 + \delta^2 - \beta^2) & \frac{i}{2}(\gamma^2 + \alpha^2 + \delta^2 - \beta^2 ) & \gamma\delta - \alpha\beta\\\frac{i}{2}(\alpha^2 + \gamma^2 - \beta^2 - \delta^2) & \frac{1}{2}(\alpha^2 + \gamma^2 + \beta^2 + \delta^2) & -i(\alpha\beta + \gamma\delta)\\\beta\delta - \alpha\gamma & i(\alpha\gamma + \beta\delta) & \alpha\delta + \beta\gamma\end{bmatrix}

欧拉参数

由于是实矩阵，不妨定义

其中，四个参量均为实数，被叫做欧拉参数（Euler parameters），欧拉参量之间的关系有

于是，转动算符也可以表示成如下形式

\rm{R}(e_0,e_1,e_2,e_3) = \begin{bmatrix}e_0^2 + e_1^2 - e_2^2 - e_3^2 & 2(e_1e_2 + e_2e_3) & 2(e_1e_3 - e_0e_2)\\2(e_1e_2 - e_0e_3) & e_0^2 - e_1^2 + e_2^2 - e_3^2 & 2(e_2e_3 + e_0e_1)\\2(e_1e_3 + e_0e_2) & 2(e_2e_3 - e_0e_1) & e_0^2 - e_1^2 - e_2^2 + e_3^2 \end{bmatrix}

用上述参数表示的转动算符同样也不也能被分解成含有反演算符的形式。

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