DP之矩阵连乘问题

最优二叉查找树的一道思考习题

同最优二叉查找树一样，矩阵连乘问题也是一个卡特兰数问题（其动态规划的构造过程都很像）


分析解答：
a，铺垫的数学知识首先要搞清楚矩阵相乘是怎么乘的：

1）对于连续的n个矩阵相乘 A1 * A2 *A3.........An，其乘法顺序可以是任意的，可以在上面加括号，改变做乘法的顺序，例如 A*B*C三个矩阵相乘可以A*(B*C)

也可以直接按从左到右的顺序。连续的两个矩阵的位数必须满足m*p，p*n才能相乘，且相乘后的结果是个m*n的矩阵。（线性代数的知识）

2）对于2个m*p，p*n的矩阵相乘，共做乘法次数为 m*n*p 次。这是预备知识，知道矩阵连续的乘法的运算次数跟运算顺序有关后，就很容易举出例子了，略。
b，卡特兰数个，证明很麻烦，有时间看了组合数学再来看
c，重点是要解决这个问题。


设M[i , j]表示从第 i 个矩阵到第 j 个矩阵连乘的最少乘法次数，（i 从 0 编号），我们最终的目标是求 M[0 , n-1]。

Ai *.......Ak * Ak+1.....Aj

假设要得到这个式子的值（即从矩阵 i 连乘到矩阵 j），所作的最后一个矩阵乘法是在矩阵 k 后(注意准确的描述位置)断开的（即左右都已乘运算好），那么容易得到

其递推式：

M[i , j]  =  min{ M[i , k] + M[k+1 , j]  + p[i - 1] * p[ k ] * p[ j ] }         i   <=   k   <=   j-1

其中 di 是矩阵 Ai 的第一维，dk+1是断开处矩阵 Ak 的第二维（即Ak+1的第一维，是一样的），dj+1是最后一个矩阵 Aj 的第二维。

得到这个式子也是一个逆向思维的过程。


可以用矩阵连乘的动态规划构造过程与最优二叉查找树比较下，发现其构造非常相似（在前面一篇dp之什么叫做professional中提到过，不再详述）

实现：

初始条件：M[i , i] = 0

填表顺序：鉴于其递推式与最优二叉查找树相似，填表顺序也是按对角线的，自己画画就知道了。

代码也跟最优二叉查找树的控制逻辑相似：

 

package Section8;


/*第八章 动态规划   课后习题：矩阵连乘*/

public class MatEven {

    /**
     * @param args
     */
    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        int[] Dim = {30,35,35,15,15,5,5,10,10,20,20,25};
        int result = MatEven(Dim);

        System.out.println("\n动态规划求的的最优策略相乘顺序导致的最少乘法数为：" + result);
    }
   
    public static int MatEven(int[] Dim){
        //接受n个矩阵的维度数组Dim大小为2n
        int n = Dim.length / 2;        //有n个矩阵，编号0...n-1,编号为k的矩阵的维数是Dim[2k] * Dim[2k+1]
       
        int[][] Result = new int[n][n];        //最小代价矩阵
       
        //初始化
        for(int i = 0;i < n;i++)
            Result[i][i] = 0;
       
        //沿对角线填矩阵
        for(int d = 1;d <= n-1;d++)      //共n-1条对角线需要填
        {
            for(int i = 0;i <= n-d-1;i++)    //第d条对角线的第一个点横坐标为d
            {
                //int j = i - d;
                int j = i + d;        //在第d条对角线上的点，横纵坐标的关系是j = i + d
               
                //这样就确定了一个位置（i,j）的坐标，然后来填（i,j）
                int Min = 1000000000;
                for(int k = i;k <= j-1;k++)        //从第k个矩阵后面断开
                {
                    //动态规划状态转移方程
                    int temp = Result[i][k] + Result[k+1][j] + (Dim[2*i] * Dim[2*k + 1] * Dim[2*j+1]);
                    if( temp < Min)
                        Min = temp;
                }
               
                Result[i][j] = Min;
            }
           
        }
       
        return Result[0][n-1];
    }
}

 

上面用一个数组接受一个连乘的矩阵的维数，

例如连乘的矩阵维数是：30*35　　35*15　　15*5　　5*10　　10*20　　20*25

用动态规划求解得到的最佳乘法次数是：


动态规划求的的最优策略相乘顺序导致的最少乘法数为：15125

直接返回矩阵的话就可以得到整个M[i , j]的值

如果按照从左到右的顺序做乘法，是远远不止这个次数的。


-------------------------------------------------------------------------

当然，再做一些处理，就还可以得到具体的次序，类似于最优二叉查找树，就是要记录动态规划产生的过程，略

----------------------------------------------------------------------------------------------


总结：


矩阵连乘问题是个卡特兰数问题

其动态规划的构造过程非常类似于最优二叉查找树

矩阵连乘的最有子结构是什么？