博弈游戏01——拿纸牌
题目
描述
给定一个整型数组arr，代表数值不同的纸牌排成一条线。玩家A和玩家B依次拿走每张纸牌，规定玩家A先拿，玩家B后拿，但是每个玩家每次只能拿走最左或最右的纸牌，玩家A和玩家B都绝顶聪明。请返回最后获胜者的分数。
【举例】
arr=[1,2,100,4]。
开始时，玩家A只能拿走1或4。如果开始时玩家A拿走1，则排列变为[2,100,4]，接下来玩家B可以拿走2或4，然后继续轮到玩家A...
如果开始时玩家A拿走4，则排列变为[1,2,100]，接下来玩家B可以拿走1或100，然后继续轮到玩家A...
玩家A作为绝顶聪明的人不会先拿4，因为拿4之后，玩家B将拿走100。所以玩家A会先拿1,让排列变为[2,100,4]，接下来玩家B不管怎么选，100都会被玩家A拿走。玩家A会获胜，分数为101。所以返回101。
arr=[1,100,2]。
开始时，玩家A不管拿1还是2，玩家B作为绝顶聪明的人，都会把100拿走。玩家B会获胜，分数为100。所以返回100。
解题思路
（1）递归问题为了方便进行理解，可以列举出递归的整个过程
（2）设输入的arr为[1, 8, 10, 6]
（3）用win函数去求arr的最优解法，即在先手和后手中取最优解
（4）其中0和3代表数组前值与后值的双指针
>>>win([1, 8, 10, 6], 4)
max(f([1, 8, 10, 6], 0, 3), s([1, 8, 10, 6], 0, 3))（5）对于先手f函数，解析为取左边，或者取右边，使得自己结果最大，可以转换为，
>>>f([1, 8, 10, 6], 0, 3)
max(1 + s([1, 8, 10, 6], 1, 3), 6 + s([1, 8, 10, 6], 0, 2))（6）对后后手s函数，解析为取左边，或者取右边，使得对手结果最小，可以转换为
>>>s([1, 8, 10, 6], 0, 3)
min(f([1, 8, 10, 6], 1, 3), f([1, 8, 10, 6], 0, 2))（7）同理，1，3代表了取走了左边的牌，0，2代表取走了右边的牌
>>>1 + s([1, 8, 10, 6], 1, 3)
1 + min(f([1, 8, 10, 6], 2, 3), f([1, 8, 10, 6], 1, 2))
>>>6 + s([1, 8, 10, 6], 0, 2)
6 + min(f([1, 8, 10, 6], 1, 2), f([1, 8, 10, 6], 0, 1))
>>>f([1, 8, 10, 6], 1, 3)
max(8 + s([1, 8, 10, 6], 2, 3), 6 + s([1, 8, 10, 6], 1, 2))
>>>f([1, 8, 10, 6], 0, 2)
max(1 + s([1, 8, 10, 6], 1, 2), 10 + s([1, 8, 10, 6], 0, 1))（8）进一步往下进行列举
>>>f([1, 8, 10, 6], 2, 3)
max(10 + s([1, 8, 10, 6], 3, 3), 6 + s([1, 8, 10, 6], 2, 2))
max(10, 6)
10
>>>f([1, 8, 10, 6], 1, 2)
max(8 + s([1, 8, 10, 6], 2, 2), 10 + s([1, 8, 10, 6], 1, 1))
max(8, 10)
10
>>>f([1, 8, 10, 6], 1, 2)
max(8 + s([1, 8, 10, 6], 2, 2), 10 + s([1, 8, 10, 6], 1, 1))
max(8, 10)
10
>>>f([1, 8, 10, 6], 0, 1)
max(1 + s([1, 8, 10, 6], 0, 0), 8 + s([1, 8, 10, 6], 1, 1))
max(1, 8)
8
>>>s([1, 8, 10, 6], 2, 3)
min(f([1, 8, 10, 6], 3, 3), f([1, 8, 10, 6], 2, 2))
min(6, 10)
6
>>>s([1, 8, 10, 6], 1, 2)
min(f([1, 8, 10, 6], 2, 2), f([1, 8, 10, 6], 1, 1))
min(10, 8)
8
>>>s([1, 8, 10, 6], 1, 2)
min(f([1, 8, 10, 6], 2, 2), f([1, 8, 10, 6], 1, 1))
min(10, 8)
8
>>>s([1, 8, 10, 6], 0, 1)
min(f([1, 8, 10, 6], 1, 1), f([1, 8, 10, 6], 0, 0))
min(8, 1)
1
（9）回到第（7）计算结果
>>> 1 + s([1, 8, 10, 6], 1, 3)
1 + min(f([1, 8, 10, 6], 2, 3), f([1, 8, 10, 6], 1, 2))
1 + min(10, 10)
11
>>> 6 + s([1, 8, 10, 6], 0, 2)
6 + min(f([1, 8, 10, 6], 1, 2), f([1, 8, 10, 6], 0, 1))
6 + min(10, 8)
14
>>> f([1, 8, 10, 6], 1, 3)
max(8 + s([1, 8, 10, 6], 2, 3), 6 + s([1, 8, 10, 6], 1, 2))
max(14, 14)
14
>>> f([1, 8, 10, 6], 0, 2)
max(1 + s([1, 8, 10, 6], 1, 2), 10 + s([1, 8, 10, 6], 0, 1))
max(9, 11)
11（10）回到第（5）步
>>>f([1, 8, 10, 6], 0, 3)
max(1 + s([1, 8, 10, 6], 1, 3), 6 + s([1, 8, 10, 6], 0, 2))
max(11, 14)
14
（11）回到第（6）步
>>>s([1, 8, 10, 6], 0, 3)
min(f([1, 8, 10, 6], 1, 3), f([1, 8, 10, 6], 0, 2))
min(14, 11)
11（12）因此最优分数方案为先手拿牌，先取6再取8，分数为14，后手方案只能取10和1，分数为11
代码
def win(arr, sz):
if sz == 0:
return 0
else:
return max(f(arr, 0, sz - 1), s(arr, 0, sz - 1))
#先手
def f(arr, i, j):
if i == j:
return arr[i]
else:
return max(arr[i] + s(arr, i + 1, j), arr[j] + s(arr, i, j - 1))
#后手
def s(arr, i, j):
if i==j:#表示先手拿过了，只剩下一个的局面
return 0
else:
return min(f(arr, i + 1, j), f(arr, i, j - 1))#先手想赢，后手就需要拿最不好的
if __name__=="__main__":
arr = [1, 8, 10, 6]
print(win(arr, len(arr)))