UVa 二分图匹配 Examples
这些都是刘汝佳的算法训练指南上的例题，基本包括了常见的几种二分图匹配的算法。
二分图是这样一个图，顶点分成两个不相交的集合X , Y中，其中同一个集合中没有边，所有的边关联在两个集合中。
给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。
最大匹配：包含边数最多的匹配。
最小点覆盖 = 最大匹配数 Matrix67大神的证明写的非常好 http://www.matrix67.com/blog/archives/116
最大独立集 = 顶点数 - 最大匹配数 (与最小点覆盖互补)
最小路径覆盖 = 最大匹配数
UVa 1411 - Ants
问题可以转化成求最小权完美匹配，权值为黑点到白点的欧几里得距离。KM算法
/* **********************************************
Author : JayYe
Created Time: 2013-8-17 18:06:01
File Name : zzz.cpp
*********************************************** */
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
const double eps = 1e-6;
const int maxn = 100;
struct Point{
int x, y;
}a[maxn+10];
bool S[maxn+10], T[maxn+10]; // S表示在左边集合，T表示在右边集合
double lx[maxn+10], ly[maxn+10], slack[maxn+10], w[maxn+10][maxn+10]; // 利用slack来松弛，时间复杂度降到O(n^3)
int match[maxn+10], n;
bool dfs(int u) {
S[u] = 1;
for(int i = 1;i <= n; i++) if(!T[i])
if(slack[i] - (w[u][i] - lx[u] - ly[i]) > eps)
slack[i] = w[u][i] - lx[u] - ly[i];
for(int i = 1;i <= n; i++) if(fabs(w[u][i] - lx[u] - ly[i]) < eps && !T[i]) {
T[i] = 1;
if(!match[i] || dfs(match[i])) {
match[i] = u;
return true;
}
}
return false;
}
void update() {
double delta = 1<<30;
for(int i = 1;i <= n; i++) if(!T[i] && delta - slack[i] > eps)
delta = slack[i];
for(int i = 1;i <= n; i++) {
if(S[i]) lx[i] += delta;
if(T[i]) ly[i] -= delta;
}
}
void KM() {
int i, j;
for(i = 1;i <= n; i++) {
lx[i] = 1<<30;
ly[i] = match[i] = 0;
// 与最大权完美匹配不同，最小权初始lx应该设为最小，每次update有最小增
for(j = 1;j <= n; j++) if(lx[i] - w[i][j] > eps)
lx[i] = w[i][j];
}
for(i = 1;i <= n; i++) {
while(true) {
for(j = 1;j <= n; j++) S[j] = T[j] = 0 , slack[j] = 1<<30;
if(dfs(i)) break;
else update();
}
}
}
void solve() {
int i, j, x, y;
for(i = 1;i <= n; i++) scanf("%d%d", &a[i].x, &a[i].y);
for(i = 1;i <= n ;i++) {
scanf("%d%d", &x, &y);
for(j = 1;j <= n; j++)
w[i][j] = sqrt((a[j].x - x)*(a[j].x - x) + (a[j].y - y)*(a[j].y - y));
}
KM();
for(i = 1;i <= n; i++) printf("%d\n", match[i]);
}
int main() {
while(scanf("%d", &n) != -1) {
solve();
}
return 0;
}
UVa 11383 - Golden Tiger Claw
有n*n的格子，每个格子有w(i, j)，现在给每行确定一个整数row(i) ，每列确定一个整数col(i)，使得所有w(i, j) <= row(i) + col(j)。
其实这样就相当于利用KM算法求最大权完美匹配。KM算法实际上最后求出的所有的lx, ly的和是最小的且都满足lx(i) + ly(j) >= w(i, j)，所以直接用KM算法来求解，这个应用还是挺灵活的。
/* **********************************************
Author : JayYe
Created Time: 2013-8-17 19:43:54
File Name : zzz.cpp
*********************************************** */
#include <stdio.h>
#include <string.h>
int max(int a, int b) { return a>b?a:b; }
int min(int a, int b) { return a>b?b:a; }
const int maxn = 500;
int n, match[maxn+10], lx[maxn+10], ly[maxn+10], slack[maxn+10], w[maxn+10][maxn+10];
bool S[maxn+10], T[maxn+10];
bool dfs(int i) {
S[i] = 1;
for(int j = 1;j <= n; j++) if(!T[j])
slack[j] = min(slack[j], lx[i] + ly[j] - w[i][j]);
for(int j = 1;j <= n; j++) if(w[i][j] == lx[i] + ly[j] && !T[j]) {
T[j] = 1;
if(!match[j] || dfs(match[j])) {
match[j] = i;
return true;
}
}
return false;
}
void update() {
int delta = 1<<30;
for(int i = 1;i <= n ;i++) if(!T[i])
delta = min(delta, slack[i]);
for(int i = 1;i <= n; i++) {
if(S[i]) lx[i] -= delta;
if(T[i]) ly[i] += delta;
}
}
void KM() {
int i, j;
for(i = 1;i <= n; i++) {
lx[i] = ly[i] = match[i] = 0;
for(j = 1;j <= n; j++)
lx[i] = max(lx[i], w[i][j]);
}
for(i = 1;i <= n; i++) {
while(true) {
for(j = 1;j <= n; j++) S[j] = T[j] = 0, slack[j] = 1<<30;
if(dfs(i)) break;
else update();
}
}
}
void solve() {
int i, j;
for(i = 1;i <= n; i++)
for(j = 1;j <= n; j++) scanf("%d", &w[i][j]);
KM();
int ans = 0;
for(i = 1;i <= n; i++) printf("%d%c", lx[i], i < n ? ' ' : '\n'), ans += lx[i];
for(i = 1;i <= n; i++) printf("%d%c", ly[i], i < n ? ' ' : '\n'), ans += ly[i];
printf("%d\n", ans);
}
int main() {
while(scanf("%d", &n) != -1) {
solve();
}
return 0;
}
UVa 1006 - Fixed Partition Memory Management
大概题意是有n个程序要让他们在m个内存区域里运行，一个内存区域不能同时进行两个程序，但是可以先运行完一个程序再运行下一个。转换成求最小权匹配，最后输出有点麻烦。
/* **********************************************
Author : JayYe
Created Time: 2013-8-18 8:52:59
File Name : zzz.cpp
*********************************************** */
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
int max(int a, int b) { return a>b?a:b; }
int min(int a, int b) { return a>b?b:a; }
int n, m, slack[555], lx[55], ly[555], match[555], w[55][555], mem[22], a[22], t[22];
bool S[55], T[555];
bool dfs(int i) {
S[i] = 1;
for(int j = 1;j <= n*m; j++) if(!T[j])
slack[j] = min(slack[j], w[i][j] - lx[i] - ly[j]);
for(int j = 1;j <= n*m; j++) if(w[i][j] == lx[i] + ly[j] && !T[j]) {
T[j] = 1;
if(!match[j] || dfs(match[j])) {
match[j] = i;
return true;
}
}
return false;
}
void update() {
int delta = 1<<30;
for(int i = 1;i <= n*m; i++) if(!T[i])
delta = min(delta, slack[i]);
for(int i = 1;i <= n; i++) if(S[i])
lx[i] += delta;
for(int i = 1;i <= n*m; i++) if(T[i])
ly[i] -= delta;
}
void KM() {
int i, j;
for(i = 1;i <= n; i++) {
lx[i] = 1<<30;
for(j = 1;j <= n*m; j++) {
lx[i] = min(lx[i], w[i][j]);
ly[j] = match[j] = 0;
}
}
for(i = 1;i <= n; i++) {
while(true) {
for(j = 1;j <= n*m; j++) S[j] = T[j] = 0, slack[j] = 1<<30;
if(dfs(i)) break;
else update();
}
}
}
void solve() {
for(int i = 1;i <= m; i++) scanf("%d", &mem[i]);
for(int i = 1;i <= n; i++)
for(int j = 1;j <= n*m; j++)
w[i][j] = 1<<30;
for(int i = 1;i <= n; i++) {
int k;
scanf("%d", &k);
for(int j = 1;j <= k; j++) scanf("%d%d", &a[j], &t[j]);
a[k+1] = 1<<30;
for(int j = 1;j <= m; j++) {
for(int l = 1;l <= k; l++) if(mem[j] >= a[l] && mem[j] < a[l+1]) {
for(int ii = 1;ii <= n; ii++) {
w[i][(j-1)*n + ii] = ii*t[l];
}
}
}
}
KM();
}
int main() {
int cas = 1;
while(scanf("%d%d", &m, &n) != -1) {
solve();
printf("Case %d\n", cas++);
int ans = 0;
for(int i = 1;i <= n; i++) ans += lx[i];
for(int i = 1;i <= n*m; i++) ans += ly[i];
printf("Average turnaround time = %.2lf\n", (double)ans/n);
int from[55], to[55], in[55], sum; // from表示程序从什么时间开始，to表示结束时间，in表示在哪个内存区域里运行
for(int i = n*m;i >= 1; i--) {
if(i%n == 0) sum = 0;
if(match[i]) {
int tmp = w[match[i]][i];
from[match[i]] = sum;
int num = i%n;
if(i%n == 0) num = n;
to[match[i]] = sum = tmp/num + sum;
in[match[i]] = i/n + 1;
if(i%n == 0) in[match[i]]--;
}
}
for(int i = 1;i <= n; i++)
printf("Program %d runs in region %d from %d to %d\n", i, in[i], from[i], to[i]);
}
return 0;
}
UVa 11419 - SAM I AM
最小点覆盖， 求出最大匹配后，最后要找到最小的点覆盖集。最小的点覆盖集的寻找过程，先从右边的非匹配点出发找交错路，并把路径上的点都标记下，最后的点覆盖集就是左边的标记了的顶点加上右边未标记的匹配点。
/* **********************************************
Author : JayYe
Created Time: 2013-8-18 11:10:00
File Name : zzz.cpp
*********************************************** */
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1000+10;
bool mp[maxn][maxn], vis[maxn];
int match[maxn], markl[maxn], markr[maxn], right[maxn], n, m;
// 求最大匹配数
bool dfs(int i) {
for(int j = 1;j <= m; j++) if(mp[i][j] && !vis[j]) {
vis[j] = 1;
if(!match[j] || dfs(match[j])) {
match[j] = i;
return true;
}
}
return false;
}
// 交错路寻找点覆盖集
void findmin(int i) {
markr[i] = 1;
for(int j = 1;j <= n; j++) if(mp[j][i] && !markl[j]) {
markl[j] = 1;
if(right[j]) {
findmin(right[j]);
}
}
}
int main() {
int k, i, j, x, y;
while(scanf("%d%d%d", &n, &m, &k) != -1 && n) {
for(i = 1;i <= n; i++)
for(j = 1;j <= m; j++)
mp[i][j] = 0;
while(k--) {
scanf("%d%d", &x, &y);
mp[x][y] = 1;
}
int ans = 0;
for(i = 1;i <= m; i++) match[i] = 0;
for(i = 1;i <= n; i++) {
for(j = 1;j <= m; j++) vis[j] = 0;
if(dfs(i)) ans++;
}
printf("%d", ans);
for(i = 1;i <= n; i++) markl[i] = markr[i] = right[i] = 0;
for(i = 1;i <= m; i++) if(match[i])
right[match[i]] = i;
for(i = 1;i <= m; i++) if(!match[i]){
findmin(i);
}
//左边标记过的匹配点
for(i = 1;i <= n; i++) if(markl[i]) printf(" r%d", i);
//右边未标记的匹配点
for(i = 1;i <= m; i++) if(match[i] && !markr[i]) printf(" c%d", i); puts(""); } return 0;}
UVa 12083 - Guardian of Decency
最大独立集，根据男女划分为二分图，求最大匹配数，结果就是总数减去最大匹配数。
wrong answer注意有一个地方，身高的条件不是至少相差40厘米，而是身高相差大于40厘米。
/* **********************************************
Author : JayYe
Created Time: 2013-8-18 13:26:39
File Name : zzz.cpp
*********************************************** */
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 500+5;
struct PP {
int h;
char music[111],sport[111];
}boy[maxn], girl[maxn], tmp;
int n, m, match[maxn];
bool vis[maxn], mp[maxn][maxn];
bool dfs(int i) {
for(int j = 1;j <= m; j++) if(mp[i][j] && !vis[j]) {
vis[j] = 1;
if(!match[j] || dfs(match[j])) {
match[j] = i;
return true;
}
}
return false;
}
char sex[2], music[111], sport[111];
int main() {
int t, i, j;
scanf("%d", &t);
while(t--) {
scanf("%d", &n);
int n1 = 0, n2 = 0, h;
for(i = 1;i <= n; i++) {
scanf("%d%s%s%s", &tmp.h, sex, tmp.music, tmp.sport);
if(sex[0] == 'M') boy[++n1] = tmp;
else girl[++n2] = tmp;
}
n = n1, m = n2;
for(i = 1;i <= n; i++) {
for(j = 1;j <= m; j++) {
if(abs(boy[i].h - girl[j].h) <= 40 && strcmp(boy[i].music, girl[j].music) == 0 && strcmp(boy[i].sport, girl[j].sport) != 0) {
mp[i][j] = 1;
}
else
mp[i][j] = 0;
}
}
for(i = 1;i <= m; i++) match[i] = 0;
int ans = 0;
for(i = 1;i <= n; i++) {
for(j = 1;j <= m; j++) vis[j] = 0;
if(dfs(i)) ans++;
}
printf("%d\n", n+m-ans);
}
return 0;
}
UVa 1201 - Taxi Cab Scheme
最小路径覆盖，在图上找尽量少的路径使得每个结点恰好在一条路径上(换句话说， 不同的路径不能有公共点)。单独的结点也看做一条路径。
/* **********************************************
Author : JayYe
Created Time: 2013-8-18 14:08:39
File Name : zzz.cpp
*********************************************** */
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 500+10;
struct TAXI {
int time, x1, y1, x2, y2;
}a[maxn];
int n, match[maxn];
bool vis[maxn], mp[maxn][maxn];
bool dfs(int i) {
for(int j = 1;j <= n; j++) if(mp[i][j] && !vis[j]) {
vis[j] = 1;
if(!match[j] || dfs(match[j])) {
match[j] = i;
return true;
}
}
return false;
}
int main() {
int i, j, t;
scanf("%d", &t);
while(t--) {
scanf("%d", &n);
for(i = 1;i <= n; i++) {
int hour, minute;
scanf("%d:%d%d%d%d%d", &hour, &minute, &a[i].x1, &a[i].y1, &a[i].x2, &a[i].y2);
a[i].time = hour*60 + minute;
// 直接把时间全部转换成分钟，这样更好判断了。
}
for(i = 1;i <= n; i++) {
mp[i][i] = 0;
int time = a[i].time;
for(j = 1;j <= n; j++) if(j != i) {
int ti = time + abs(a[i].x1 - a[i].x2) + abs(a[i].y1 - a[i].y2);
ti += abs(a[i].x2 - a[j].x1) + abs(a[i].y2 - a[j].y1);
if(ti < a[j].time)
mp[i][j] = 1;
else
mp[i][j] = 0;
}
}
for(i = 1;i <= n; i++) match[i] = 0;
int ans = 0;
for(i = 1;i <= n; i++) {
for(j = 1;j <= n; j++) vis[j] = 0;
if(dfs(i)) ans++;
}
printf("%d\n", n - ans);
}
return 0;
}