剑指offer 数组中的逆序对

剑指offer题型分类及各题的代码及解题思路 

题目描述

在数组中的两个数字，如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数P。并将P对1000000007取模的结果输出。 即输出P%1000000007

输入描述:

题目保证输入的数组中没有的相同的数字

数据范围：

对于%50的数据,size<=10^4

对于%75的数据,size<=10^5

对于%100的数据,size<=2*10^5

示例1

输入

1,2,3,4,5,6,7,0

输出

7

分析过程及代码来自于剑指offer面试题51：

看到这个题目，我们的第一反应是顺序扫描整个数组。每扫描到一个数组的时候，逐个比较该数字和它后面的数字的大小。如果后面的数字比它小，则这两个数字就组成了一个逆序对。假设数组中含有n个数字。由于每个数字都要和O(n)这个数字比较，因此这个算法的时间复杂度为O(n^2)。

我们以数组{7,5,6,4}为例来分析统计逆序对的过程。每次扫描到一个数字的时候，我们不拿ta和后面的每一个数字作比较，否则时间复杂度就是O(n^2)，因此我们可以考虑先比较两个相邻的数字。

(a) 把长度为4的数组分解成两个长度为2的子数组；

(b) 把长度为2的数组分解成两个成都为1的子数组；

(c) 把长度为1的子数组 合并、排序并统计逆序对 ；

(d) 把长度为2的子数组合并、排序，并统计逆序对；

在上图（a）和（b）中，我们先把数组分解成两个长度为2的子数组，再把这两个子数组分别拆成两个长度为1的子数组。接下来一边合并相邻的子数组，一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1的子数组{7}、{5}中7大于5，因此（7,5）组成一个逆序对。同样在第二对长度为1的子数组{6}、{4}中也有逆序对（6,4）。由于我们已经统计了这两对子数组内部的逆序对，因此需要把这两对子数组 排序 如上图（c）所示， 以免在以后的统计过程中再重复统计。

接下来我们统计两个长度为2的子数组子数组之间的逆序对。合并子数组并统计逆序对的过程如下图如下图所示。

我们先用两个指针分别指向两个子数组的末尾，并每次比较两个指针指向的数字。如果第一个子数组中的数字大于第二个数组中的数字，则构成逆序对，并且逆序对的数目等于第二个子数组中剩余数字的个数，如下图（a）和（c）所示。如果第一个数组的数字小于或等于第二个数组中的数字，则不构成逆序对，如图b所示。每一次比较的时候，我们都把较大的数字从后面往前复制到一个辅助数组中，确保 辅助数组（记为copy） 中的数字是递增排序的。在把较大的数字复制到辅助数组之后，把对应的指针向前移动一位，接下来进行下一轮比较。

过程：先把数组分割成子数组，先统计出子数组内部的逆序对的数目，然后再统计出两个相邻子数组之间的逆序对的数目。在统计逆序对的过程中，还需要对数组进行排序。如果对排序算法很熟悉，我们不难发现这个过程实际上就是归并排序。

 

C++实现代码如下：

int InversePairs(vector data) 
{
	if (data.size() <= 1)	//如果少于等于1个元素，直接返回0
		return 0;

	int *copy = new int[data.size()];

	//初始化该数组，该数组作为存放临时排序的结果，最后要将排序的结果复制到原数组中
	for (int i = 0; i < data.size(); ++i)
		copy[i] = data[i];

	//调用递归函数求解结果
	int count = InversePairCore(data, copy, 0, data.size()-1);

	//删除临时数组
	delete[] copy;

	return count;
}

//程序的主体函数
int InversePairCore(vector& data,int* ©,int start,int end)
{
	if (start == end)
	{
		copy[start] = data[start];
		return 0;
	}

	//将数组拆分成两部分
	//这里使用的下标法，下面要用来计算逆序个数；也可以直接使用mid=（start+end）/2
	int length = (end-start)/2;

	//分别计算左边部分和右边部分
	int left = InversePairCore(data,copy,start,start+length)%1000000007;
	int right = InversePairCore(data,copy,start+length+1,end)%1000000007;

	//进行逆序计算
	int i = start + length;	//前一个数组的最后一个下标
	int j = end;			//后一个数组的最后一个下标
	int index = end;		//辅助数组下标，从最后一个算起
	int count = 0;			//逆序对计数器
	while (i >= start && j >= start + length + 1)
	{
		if (data[i] > data[j])
		{
			copy[index--]=data[i--];
			//统计长度
			count += j-start-length;
			if (count >= 1000000007)//数值过大求余
				count %= 1000000007;
		}
		else
		{
			copy[index--] = data[j--];
		}
	}
	for (;i >= start; --i)
	{
		copy[index--] = data[i];
	}

	for (;j>=start+length+1;--j)
	{
		copy[index--]=data[j];
	}

	//排序
	for(int i=start; i<=end; i++) 
	{
		data[i] = copy[i];
	}

	//返回最终的结果
	return (count+left+right)%1000000007;
}