统计学习方法（三） 朴素贝叶斯（naive Bayes）上

统计学习方法（三） 朴素贝叶斯（naive Bayes）

朴素贝叶斯是一个基于贝叶斯定理与特征条件独立假设的分类方法。

三门问题

不想搞的太枯燥，所以用大名鼎鼎的“三门问题”引入贝叶斯定理（这个问题真是太有意思了）：

三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目Let’s Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得汽车的机率。如果严格按照上述的条件，那么答案是会。不换门的话，赢得汽车的几率是1/3。换门的话，赢得汽车的几率是2/3。

是不是非常反直觉？是不是不信？我们写个代码验证一下：

import random


def td(exchange):
    a = random.sample(range(0,100),3) # 三个数里最大的那个是中奖彩票
    b = random.randint(0,2) # 随机抽取一张彩票
    chooce = a[b]
    max_index = a.index(max(a)) # 有奖的彩票
    max_val = max(a)
    a.pop(b)
    a.remove(min(a))
    if chooce == max_val:
        if exchange:
            return 1
        else:
            return 0
    else:
        if exchange:
            return 0
        else:
            return 1
        
def exchange(j):
    print('抽奖开始')
    print('老子铁头娃，打死也不换')
    z = 0
    for i in range(j):
        z += td(True)
    print(f'抽了{
       j}次,中奖{
       z}次，中奖率{
       z/j*100}%')


def noexchange(j):
    print('抽奖开始')
    print('老子说啥都要换，谁也拦不住')
    z = 0
    for i in range(j):
        z += td(False)
    print(f'抽了{
       j}次,中奖{
       z}次，中奖率{
       z/j*100}%')

print('#############################')
exchange(10000)
print('#############################')
noexchange(10000)
print('#############################')

最后结果：

#############################
抽奖开始
老子铁头娃，打死也不换
抽了10000次,中奖3378次，中奖率33.78%
#############################
抽奖开始
老子说啥都要换，谁也拦不住
抽了10000次,中奖6690次，中奖率66.9%
#############################

这里终于引出了贝叶斯定理：$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$（用这个公式套用一下你会发现交换后中奖概率为66.7%。）

朴素贝叶斯的数学推导

设输出空间为类标记集合$y=\{c_1,c_2,...c_K\}$，输入为特征向量$x$。$X$是输入空间上的随机向量，$Y$是定义在输出空间上的随机变量。$P(X,Y)$是$X$和$Y$的联合概率分布。训练数据集$T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_N,y_N)\}$由$P(X,Y)$独立同分布产生。

朴素贝叶斯要完成分类任务，那么式中的先验情况就是给定样本$X$是$x$，求得$Y$为$c_K$的概率。即$P(Y=c_K|X=x)$.根据贝叶斯定理可推导：

$P(Y=c_K|X=x)=\frac{P(X=x|Y=c_K)P(Y=c_K)}{P(X=x)}=\frac{P(X=x|Y=c_K)P(Y=c_K)}{{\sum }_{K}P(X=x|Y=c_K)P(Y=c_K)}$

到了这一步，要引入一个假设：输入空间的每个维度是相互独立的。这个假设其实是不严谨的，但如果要考虑维度之间的相关性会使模型过于复杂，而且大家发现即使用了这个不严谨的假设也能得到不错的效果。通过这个假设容易证明上式的$P(X=x|Y=c_K)$实际上可以写成${\prod }_{j}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_K)$，$j$代表不同的维度。因此最终公式转换为如下的样子：

这就是朴素贝叶斯分类的基本公式。于是朴素贝叶斯分类器可表示为：

可以发现对于所有的类别，分母不变，所以把这个式子直接乘一个分母结果不变。最终得到：

这就是最终简化版的朴素贝叶斯分类器。至于式子里面的两项具体怎么求，我们首先看第一项。

$P=(Y=c_k)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I(y_i=c_k)}{N}$(说白了就是数据集里有多少个给定类别的样本，比如100个数字里有13个1，那么类别1的概率就是13%)

$I$是指示函数

再看第二项（其实跟第一项的构造方法类似）：

整个过程比较复杂，附一份比较形象的手写版：

朴素贝叶斯算法

看到这里还是懵的小伙伴没有关系，上个简单的例题就全明白了：

贝叶斯估计

还记的贝叶斯分类器的表达式中有一大串连乘吗？那么如果有一个概率为0，那么这样整个式子都是0.为了避免这种情况，需要保证每一项都大于0.

加入的$\lambda$和$S_j$保证了每个概率都大于零，而所有概率之和正好等于1。

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未完待续……