一、AI（机器学习）线性代数学习笔记

1 矩阵和向量

如图：这个是4×2矩阵，即4行2列，如$m$为行，$n$为列，那么$m\times n$即4×2

矩阵的维数即行数×列数

矩阵元素（矩阵项）：$A=\left[\begin{array}{cc}1402& 191\\ 1371& 821\\ 949& 1437\\ 147& 1448\end{array}\right]$

$A_{ij}$指第$i$行，第$j$列的元素。

向量是一种特殊的矩阵，讲义中的向量一般都是列向量，如：
$y=\left[\begin{array}{c}460\\ 232\\ 315\\ 178\end{array}\right]$

为四维列向量（4×1）。

如下图为1索引向量和0索引向量，左图为1索引向量，右图为0索引向量，一般我们用1索引向量。

$y=\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\\ y_4\end{array}\right]$，$y=\left[\begin{array}{c}{y}_0\\ y_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right]$

2 加法和标量乘法

矩阵的加法：行列数相等的可以加。

例：

矩阵的乘法：每个元素都要乘

组合算法也类似。

3 矩阵向量乘法

矩阵和向量的乘法如图：$m\times n$的矩阵乘以$n\times 1$的向量，得到的是$m\times 1$的向量

算法举例：

4 矩阵乘法

矩阵乘法：

$m\times n$矩阵乘以$n\times o$矩阵，变成$m\times o$矩阵。

如果这样说不好理解的话就举一个例子来说明一下，比如说现在有两个矩阵$A$和$B$，那么它们的乘积就可以表示为图中所示的形式。

5 矩阵乘法的性质

矩阵乘法的性质：

矩阵的乘法不满足交换律：$A\times B\ne B\times A$

矩阵的乘法满足结合律。即：$A\times (B\times C)=(A\times B)\times C$

单位矩阵：在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1,我们称这种矩阵为单位矩阵．它是个方阵，一般用 $I$ 或者 $E$ 表示，本讲义都用 $I$ 代表单位矩阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1以外全都为0。如：

$A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$

对于单位矩阵，有$AI=IA=A$

6 逆、转置

矩阵的逆：如矩阵$A$是一个$m\times m$矩阵（方阵），如果有逆矩阵，则：$A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$

我们一般在OCTAVE或者MATLAB中进行计算矩阵的逆矩阵。

矩阵的转置：设$A$为$m\times n$阶矩阵（即$m$行$n$列），第$i行$j $列的元素是$a(i,j)$，即：$A=a(i,j)

定义$A$的转置为这样一个$n\times m$阶矩阵$B$，满足$B=a(j,i)$，即 $b(i,j)=a(j,i)$（$B$的第$i$行第$j$列元素是$A$的第$j$行第$i$列元素），记$A^T=B$。(有些书记为A’=B）

直观来看，将$A$的所有元素绕着一条从第1行第1列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转，即得到$A$的转置。

例：

${\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\\ e& f\end{array}\right|}^T=\left|\begin{array}{ccc}a& c& e\\ b& d& f\end{array}\right|$

矩阵的转置基本性质: