模型总结：动态模型

模型总结：动态模型

因为没有电子版的书，所以只能手敲...... 【敲字不易，贝壳叹气】

冲！

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前言

许多有趣的实际问题包含着随时间发展的过程. 动态模型被用于表现这些过程的演变。空间飞行、电路、化学反应、种群增长、投资和养老金、军事战斗、疾病传播和污染控制正是广泛地运用动态模型的众多领域中的一部分。

五步方法以及灵敏性分析和稳健性的基本原则对动态模型是有意义的并且是有用的正如它们对于最优化模型一样。在探讨一些最流行和通常最实用的动态建模技巧时，我们将继续采用这些方法，在这一部分中我们还将介绍状态空间、平衡态和稳定性等重要的建模概念.所有这些对本书的第三部分(即最后一部分)都非常有用，在那里我们探讨随机模型。

一般来讲，动态模型易于构造但难于求体解。精确的解析解仅对很少的特殊情况存在，例如线性系统。数值方法常常不能对系统行关为提供一个好的定性的解释。因此，图形表示通常成为分析动态模型不可缺少的一部分.由于图形表示特有的简单性，以及它的几何性质，这一章也提供给我们一个理想的机会来介绍最深刻且最基本的动力系统建模的观念

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一、动态模型介绍

1.1 定常态分析

这一节我们考虑形式最简单的动态模型。虽然这个模型只需要初等的数学知识，但其有大量的实际应用，而且没有过多复杂的技巧，这使得我们能够集中考虑动态建模最基本的思想。

这一节的例题中可以学习到的是种群竞争模型的建立：
种群增长率线性依赖于种群的大小
种群的增长率=不受限制的的增长-种群内竞争的影响-种群间竞争的影响

共存的条件是每个种群达到限制自己增长的点之前已经达到它限制另一种群增长的点。

这一节的定常态分析留下了一个尚未回答的问题：给定一个具有一个平衡解的动力系统，究竟是否能够到达平衡态？答案依赖于模型的动力学性质。称一个平衡点：
$$x_0=(x_1^0,...,x_n^0)$$
是渐进稳定的（或是仅是稳定的），条件是状态变量
$$（x_1(t),...,x_n(t)）$$
充分接近$x_0$时，它们是被平衡点吸引，即
$$（x_1(t),...,x_n(t)）\to x_0$$
定常态分析不能回答稳定性问题，所以我们不得不将这个问题的进一步讨论推迟到下一节。

例题：
软材树和硬材树的竞争模型

1.2 动力系统

动力系统模型是最普遍应用的动态模型。在动力系统模型中，力的变化由微分方程刻画。在这一节我们将集中考虑如何应用图示方法获得一个动力系统的定性性质，重点是稳定性问题。

例题：蓝鲸和长须鲸竞争问题
蓝鲸和长须鲸竞争问题

1.3 离散时间的动力系统

对某些问题很自然取整数的时间变量，此时一般的微分放长被其离散时间的相似形式——差分方程代替。离散动力系统和连续动力系统之间的关系是$\frac{\Delta x}{\Delta t}$与$\frac{dx}{dt}$之间的关系，因此，不论我们假设时间是离散的还是连续的，通常认为动力系统都存在一种时间滞后，滞后的时间是时间步长$\Delta t$的长度。对动力非常强的系统，时滞会导致出乎意料的结果。

二、动态模型分析

在这一章中我们考虑某些广泛应用于分析离散和连续时间动力系统的技巧。除一些特殊情况外，这些方法并不能导出精确的解析解。精确的解析方法更适合在微分方法课程中讨论。对实际中提出的绝大多数动力系统模型，用任何已知的技巧都不可能导出精确解。在这一章，我们将展示能够应用于分析绝大多数动态模型的方法。即使在不可能获得精确的解析解的情况下，这些方法仍可能提供关于东i系统性质的重要的定性信息。

2.1 特征值方法

当一个动态模型的方程是线性的时，我们可以获得精确的解析解。尽管在实际生活中线性动力系统几乎不存在，但多数动力系统至少在局部上可以被线性系统逼近。这样的线性逼近，特别是在一个孤立平衡点的邻域内，为许多最重要的适合于动态建模的分析技巧提供了基础。

2.2 离散系统的特征值方法

2.3 相图

三、动态模型的模拟

3.1 模拟简介

3.2 连续时间模型

3.3 欧拉方法

3.4 混沌与分形

代码如下（示例）：

data = pd.read_csv(
    'https://labfile.oss.aliyuncs.com/courses/1283/adult.data.csv')
print(data.head())

该处使用的url网络请求的数据。

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总结

提示：这里对文章进行总结：
例如：以上就是今天要讲的内容，本文仅仅简单介绍了pandas的使用，而pandas提供了大量能使我们快速便捷地处理数据的函数和方法。