「手把手带你学算法」本周小结！（动态规划系列七）
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本周的主题就是股票系列，来一起回顾一下吧
周一
动态规划：买卖股票的最佳时机II中股票可以买买多了次！
这也是和121. 买卖股票的最佳时机的唯一区别（注意只有一只股票，所以再次购买前要出售掉之前的股票）
重点在于递推公式公式的不同。
在回顾一下dp数组的含义：
- dp[i][0] 表示第i天持有股票所得现金。
- dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金
递推公式：
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]);
大家可以发现本题和121. 买卖股票的最佳时机的代码几乎一样，唯一的区别在：
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
这正是因为本题的股票可以买卖多次！ 所以买入股票的时候，可能会有之前买卖的利润即：dp[i - 1][1]，所以dp[i - 1][1] - prices[i]。
周二
动态规划：买卖股票的最佳时机III中最多只能完成两笔交易。
这意味着可以买卖一次，可以买卖两次，也可以不买卖。
- 确定dp数组以及下标的含义
一天一共就有五个状态，
0. 没有操作
- 第一次买入
- 第一次卖出
- 第二次买入
- 第二次卖出
dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。
- 确定递推公式
需要注意：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是很多同学容易陷入的误区。
dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);
dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2]);
dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
- dp数组如何初始化
dp[0][0] = 0;
dp[0][1] = -prices[0];
dp[0][2] = 0;
dp[0][3] = -prices[0];
dp[0][4] = 0;
- 确定遍历顺序
从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。
- 举例推导dp数组
以输入[1,2,3,4,5]为例
可以看到红色框为最后两次卖出的状态。
现在最大的时候一定是卖出的状态，而两次卖出的状态现金最大一定是最后一次卖出。
所以最终最大利润是dp[4][4]
周三
动态规划：买卖股票的最佳时机IV最多可以完成 k 笔交易。
相对于上一道动态规划：123.买卖股票的最佳时机III，本题需要通过前两次的交易，来类比前k次的交易
- 确定dp数组以及下标的含义
使用二维数组 dp[i][j] ：第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i][j]
j的状态表示为：
- 0 表示不操作
- 1 第一次买入
- 2 第一次卖出
- 3 第二次买入
- 4 第二次卖出
- …
除了0以外，偶数就是卖出，奇数就是买入。
- 确定递推公式
还要强调一下：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是很多同学容易陷入的误区。
for (int j = 0; j < 2 * k - 1; j += 2) {
dp[i][j + 1] = max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
dp[i][j + 2] = max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
}
本题和动态规划：123.买卖股票的最佳时机III最大的区别就是这里要类比j为奇数是买，偶数是卖剩的状态。
- dp数组如何初始化
dp[0][j]当j为奇数的时候都初始化为 -prices[0]
代码如下：
for (int j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
dp[0][j] = -prices[0];
}
在初始化的地方同样要类比j为偶数是买、奇数是卖的状态。
- 确定遍历顺序
从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。
- 举例推导dp数组
以输入[1,2,3,4,5]，k=2为例。
最后一次卖出，一定是利润最大的，dp[prices.size() - 1][2 * k]即红色部分就是最后求解。
周四
动态规划：最佳买卖股票时机含冷冻期尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票），但有冷冻期，冷冻期为1天
相对于动态规划：122.买卖股票的最佳时机II，本题加上了一个冷冻期
本题则需要第三个状态：不持有股票（冷冻期）的最多现金。
动规五部曲，分析如下：
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[i][j]，第i天状态为j，所剩的最多现金为dp[i][j]。
j的状态为：
- 1：持有股票后的最多现金
- 2：不持有股票（能购买）的最多现金
- 3：不持有股票（冷冻期）的最多现金
- 确定递推公式
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]);
dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
- dp数组如何初始化
可以统一都初始为0了。
代码如下：
vector> dp(n, vector(3, 0));
初始化其实很有讲究，很多同学可能是稀里糊涂的全都初始化0，反正就可以通过，但没有想清楚，为什么都初始化为0。
- 确定遍历顺序
从递归公式上可以看出，dp[i] 依赖于 dp[i-1]，所以是从前向后遍历。
- 举例推导dp数组
以 [1,2,3,0,2] 为例，dp数组如下：
最后两个状态 不持有股票（能购买） 和 不持有股票（冷冻期）都有可能最后结果，取最大的。
总结
下周还会有一篇股票系列的文章，股票系列后面我也会单独写一篇总结，来高度概括一下，这样大家会对股票问题就有一个整体性的理解了。
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