模式匹配算法

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概念

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形如 Java 的 String.indexOf(String)，C 的 strstr(char*, char*) 这类子串定位运算，可称为模式匹配。

模式匹配是字符串中一种基本运算。

具体的来讲，给定字符串 $S_1[1\sim n]$、$S_2[1\sim m]$，要求求出所有使得 $S_1[i\sim i+m]=S_2[1\sim m]$ 的 $i$，$i\le n-m$，即子串匹配问题。

在模式匹配里 $S_2$ 被称为模式 $P$，$S_1$ 被称为目标 $T$，任务是在 $T$ 中寻找若干 子串$P$。

通常，我们只需求出最小的 $i$ 即可。

为了方便接下来的实现，下标从0开始计算。

值得注意的是，当 $P$ 为空串时，我们引用 Java 和 C 的做法，返回下标0。

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模式串当然也可以多至 $m$ 个，如果我们能在线性时间内处理完匹配，那么在 $O(nm)$ 的复杂度下完成其实也是可以接受的，但可能会存在更好的方法，这里开个坑，不见得会填。

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朴素算法

_{Brute Force}

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一种朴素的想法，就是我们拿出 $T[1\sim n]$ 的所有长度为 $m$ 子串 $T[1\sim m]、T[2\sim m+1]、...、T[n-m\sim n]$ 和 $P[1\sim m]$ 一一对比，暴力的搜索出子串开始下标，这种做法时间复杂度在 $O(mn)。$

    public int indexOf(String T, String P) {
     
        int n = T.length(), m = P.length();
        for (int i = 0; i <= n - m; i++) {
     
            boolean flag = true;
            for (int j = 0; j < m; j++)
                if (T.charAt(i + j) != P.charAt(j))
                    flag = false;
            if (flag) return i;
        }
        return -1;
    }

这段代码里显然有一个可以做常数优化的点，这里留给不熟悉字符串的读者自行思考。

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Hash 运算

_嗯赌

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对于一个字符串，我们只需要线性时间内的预处理，然后在常数时间内就能拿到其子串的 hash值，也就是整个匹配时间能在 $O(n)$ 意义下完成。

如果 $T$ 的子串 hash值 和 $P$ 的不等，那么它们一定不等。

如果 $T$ 的子串 hash值 和 $P$ 的相等，但它们不一定相等。

与 Hash 有关的内容这里便不再展开来讲，
这里只提供一个使用 Hash 模式匹配的示例。

    public final int p = 31;

    public int indexOf(String T, String P) {
     
        int n = T.length(), m = P.length();
        long[] THash = new long[n + 1];
        long PHash = 0, PPowM = 1;
        for (int i = 0; i < m; i++) {
     
            PPowM = PPowM * p;
            PHash = PHash * p + P.charAt(i);
        }
        for (int i = 0; i < n; i++)
            THash[i + 1] = THash[i] * p + T.charAt(i);
        for (int i = m; i <= n; i++) {
     
            long k = THash[i] - THash[i - m] * PPowM;
            if (THash[i] - THash[i - m] * PPowM == PHash)
                return i - m;
        }
        return -1;
    }

发生 hash 碰撞后，可以改用其他质数，或调整为BF算法。

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KMP 算法

_{Knuth-Morris-Pratt Algorithm}

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大的要来咯

首先定义前缀函数 $f$，以及其使用。

出于惯例我们使用整型数组next保存前缀函数的结果。

这里使用名词前缀函数是为了避免与后缀数组混淆，
也就是这里计算出的 “前缀数组” 并非和后缀数组相近的概念。

我们还需要了解非前缀子串的含义：

对于字符串 $S[1\sim n]$，它的非前缀子串有 $\{S[i\sim j]|1<i\le j\le n\}$，也就是并非以字符串头开头的子串。

前缀函数 $f(i)$ 的值为以第 $i$ 个字符结尾的非前缀子串与原串的最大匹配长度。

出于惯例，$f(1)$ 记做 $-1$。

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我们思考一下朴素匹配的过程，给定串 $T$、$P$：

当匹配到 $T[1\sim 8]$ 比较到 $P_5$ 时，匹配已经失败，
比较直接开始匹配下一个子串。

和顺序跳过已匹配距离 $4$ 减去 $f(4)$ 个待匹配子串。

当然现在已经匹配失败了，

但是到这里我们就能发现，
在匹配失败发生时，我们将 $T$ 左 或 $P$ 右 移$f(已匹配距离)$个单位，最后的结果仍然是正确的。

也就是说在这之间 $T$ 的子串绝对不可能和 $P$ 相同。

严格来讲：

$T[k\sim k+m]$ 与 $P[1\sim m]$ 的 $[1\sim i-1]$ 处相同，$i$，$i\le m$ 处相异，则 $T[k+j\sim k+m+j]$，$j\in [0,i-f(x))$ 必不可能与 $P$ 相等。

因为 $f(i)$ 是 $P$ 以第 $i$ 个字符结尾的非前缀子串与原串的最大匹配长度，
若存在 $j_0$，$i>j_0>f(i)$使得 $T[k+i-j_0\sim k+i]=P[1\sim j_0]$，这就意味着 $j_0$ 可使 $P[1\sim j_0]=P[i-j_0\sim i]$，这与前缀函数匹配长度的最大性相悖。

也因此在 $T[k+j\sim k+m+j]$ 中每个子串都与 $P$ 的前缀相异，故必不可能与 $P$ 相等。

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我们先朴素的求出所有 $f(x)$，将其保存到next数组里，随后还会安装上述这个性质对next的求法进行一定的优化，使其能在线性时间内完成。

    public int indexOf(String T, String P) {
     
        int n = T.length(), m = P.length();
        int[] next = new int[m];
        for (int i = 0; i < m; i++)
            for (int j = 0; j < i; j++)
                if (P.substring(0, j).equals(P.substring(i - j, i)))
                    next[i] = j;
        for (int i = 0, j = 0; i < n;) {
     
            if (j == 0) {
     
                if (T.charAt(i) == P.charAt(j))
                {
      i++; j++; }
                else i++;
            } else if (T.charAt(i) == P.charAt(j))
            	{
      i++; j++; }
            else j = next[j];
            if (j == m) return i - j;
        }
        return -1;
    }

可以看到在这段程序中，处理next的复杂度为 $O(m^2)$，整个查找过程中，$j$ 的减少次数不会超过 $j$ 的增加次数，故 $j$ 的总变化次数至多为 $2(n+m)$，整个算法时间复杂度为 $O(n+m^2)$。

在 $n$ 远远大于 $m$ 时，这个复杂度显然可以接受，但是对于预处理next的过程，我们还有更好的方案。

从上面的证明中我们能推出，在 $i$ 处发生匹配发生失败时，要使得 $T$ 继续匹配，回退的位置只会从 $f(i),f(f(i)),...,0$ 即 next[i]，next[next[i]]，… ，0中产生。

那么把这段话的 $T$ 替换成 $P$ 呢？

首先要确定next[i]的能否从next[i - 1]中确定，要使 $P[k\sim i]=P[1\sim i-k]$

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算了我再重新写一份，写的太粪了。

等我有时间。