人工智能之数学基础篇—高等数学基础

  在这篇文章，我将简单的总结一下函数、极限、无穷大和无穷小、连续性与导数、偏导数、方向导数、梯度等高等数学基本概念，这些概念是理解人工智能算法的基础数学知识。其中梯度下降算法是机器学习领域的重要算法，是应用最广泛的优化算法之一。在本篇文章中，我将结合综合实例来介绍梯度下降算法，并通过Python语言编程实现。

1 函数

  我们经常会遇到彼此之间有依赖关系的变量，如圆的面积 $s$ 与它的半径 $r$ 之间存在 $s=\pi r^2$，自由落体运动中，若开始下落的时刻为 $t=0$，则下落的距离 $h$ 与下落的时间 $t$ 之间存在 $h=\frac{1}{2}g{t}^2$ 关系。我们称这种依赖关系为函数关系。

1.1 函数的定义

定义1.1 设数集 $D\subset R$，则映射 $f:D\to R$ 为定义在 $D$ 上的函数，通常简记为 $y=f(x),xϵD$。其中 $x$ 称为自变量，$y$ 称为因变量，$D$ 称为定义域，记作 $D_f$，即 $D_f=D$。

  按此定义，对每个 $xϵD$，按对应法则 $f$，总有唯一确定的值 $y$ 与之对应，这个值称为函数 $f$ 在 $x$ 处的函数值，记作 $f(x)$，即 $y=f(x)$。因变量 $y$ 与自变量 $x$ 之间的这种依赖关系通常称为函数关系。函数值 $f(x)$ 的全体所构成的集合称为函数的值域，记作 $R_f$ 或 $f(D)$，即 $R_f=f(D)=\left\{y\mid y=f(x),xϵD\right\}$。

  函数的定义域通常由函数的实际意义所决定，如圆的面积 $s=\pi r^2$，其中 $r$ 为自变量，而实际上圆的半径不可能为负数，因此函数定义域为 $D=\left[0,\infty \right)$。

  函数在 $x_0$ 处取得的函数值 $y_0=y{\mid }_{x=x_0}=f\left(x_0\right)$

1.2 几种特殊函数的定义

  1.分段函数

定义1.2 对于自变量 $x$ 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数称为分段函数。

  【例1.1】分段函数
$$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{x}& \text{ if }x\ge 0\\ x& \text{ if }x<0\end{array}$$

  2.反函数

定义1.3 设函数 $f:D\to f\left(D\right)$ 是单射，则存在逆映射 $f^{-1}:f\left(D\right)\to D$，称此映射 $f^{-1}$ 为函数 $f$ 的反函数。

  按此定义，对每个 $yϵf\left(D\right)$，有唯一的 $xϵD$，使得 $f\left(x\right)=y$，于是有 $f^{-1}\left(y\right)=x$。也就是说反函数 $f^{-1}$ 的对应法则完全由函数 $f$ 的对应法则所确定。

  【例1.2】求 $h=\frac{1}{2}g{t}^2$ 的反函数。

  解：
$$h=f\left(t\right),t=f^{-1}\left(h\right)\to t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$
  即原函数的反函数为 $t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$。

  3.显函数与隐函数

定义1.4 一个函数如果能用形如 $y=f(x)$ 的解析式表示，其中 $x$、$y$ 分别是函数的自变量与因变量，则此函数称为显函数。例如，$y=x^2+1$ 即为显函数。

定义1.5 如果由方程 $F(x,y)=0$ 可确定 $y$ 是 $x$ 的函数，即 $x$、$y$ 在某个范围内存在函数 $y=g(x)$，使 $F\left[x,g\left(x\right)\right]=0$，则这个函数是隐函数。例如，$x^2+1-y^2=0$ 就是隐函数。

1.3 函数的几种特性

  1.函数的奇偶性

  设函数 $y=f(x)$ 的定义域 $D$ 关于原点对称。对于区间 $D$ 上任意点 $x$，若 $f(-x)=-f(x)$ 恒成立，则 $f(x)$ 为奇函数。若 $f(-x)=f(x)$ 恒成立，则 $f(x)$ 为偶函数。

  从几何意义上说，一个奇函数，其图像在绕原点180°旋转后不会改变。一个偶函数关于 $y$ 轴对称，其图像在对 $y$ 轴映射后不会改变，如图1所示。

图1 函数的奇偶性

  2.函数的单调性

  设函数 $f(x)$ 的定义域为$D$，区间 $I\subset D$。假设区间 $I$ 上有任意两点 $x_1$ 及 $x_2$：当 $x_1<x_2$ 时，恒有 $f(x_1)<f(x_2)$，则称函数 $f(x)$ 在区间上是单调递增的；当 $x_1<x_2$ 时，恒有 $f(x_1)>f(x_2)$，则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是单调递减的。函数的单调性如图2所示。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。

图2 函数的单调性

  3.函数的周期性

  设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，如果存在一个正数 $T$，使任意点 $xϵD$ 有 $(x\pm T)ϵD$，且 $f(x\pm T)=f(x)$恒成立，则称 $f(x)$ 为周期函数，$T$ 称为 $f(x)$ 的周期，通常说周期函数的周期是指最小正周期。

  如图3所示，函数 $sinx$、$cosx$ 都是以 $2\pi$ 为周期的周期函数，函数 $tanx$ 是以 $\pi$ 为周期的周期函数。

图3 周期函数

2 极限

  极限概念是在探求某些实际问题的精确解答过程中产生的。例如，求解曲边梯形的面积就是采用划分无穷个小梯形面积，然后求和得出曲边梯形的近似面积的方法，即极限思想在积分学的应用。另外以泰勒多项式近似表达复杂函数，也是极限思想的应用。极限方法是高等数学中的一种基本方法。

2.1 数列

定义1.6 如果按照某一法则，对每一个 $nϵN_{+}$，对应着一个确定的实数 $u_n$，按照下标 $n$ 从小到大排列得到的序列 $u_1,u_2,...,u_n$ 就叫作数列，简记为数列 $\left\{u_n\right\}$，其中 $u_n$ 叫作通项。

  对于数列 $\left\{u_n\right\}$ 而言，如果 $n$ 无限增大，其通项无限接近常数 $A$，则称该数列以 $A$ 为极限或称数列收敛于 $A$，记为 ${\lim }_{n\to \infty }{u}_n=A$ ，否则称数列为发散。

2.2 收敛数列的性质

定理1.1 （极限的唯一性）如果数列 $\left\{u_n\right\}$ 收敛，那么它的极限唯一。

定理1.2 （收敛数列的有界性）如果数列$\left\{u_n\right\}$ 收敛，那么数列 $\left\{u_n\right\}$ 一定有界。

注意：数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。

定理1.3 （收敛数列的保号性）如果 ${\lim }_{n\to \infty }{u}_n=a$，且 $a>0$（或 $a<0$），那么存在正整数 $N$，当 $n>N$时，则 $u_n>0$ （或$u_n<0$）。

定理1.4 （收敛数列与其子序列的关系）如果数列 $\left\{u_n\right\}$ 收敛于 $a$，那么它的任意子序列也收敛，且极限为 $a$。