密码学证明方法-规约法简介

背景

记号及含义

• $\mathrm{X}$：某类很难解决的问题
• $\chi$：$\mathrm{X}$的一个实例
• $$\begin{gathered} {\mathrm{A}}^{{ \\ }^{\prime }} \end{gathered}$$：试图解决$\chi$的敌手
• $\Pi$：基于$\mathrm{X}$的(一类)加密方案
• $\pi$：$\Pi$的一个实例
• $\mathrm{A}$：破解$\Pi$的敌手
• $\epsilon (n)$：$\mathrm{A}$的成功概率

安全定义

• 当假设$\mathrm{X}$成立时(即这类问题很难解决)，不存在任何敌手能在多项式时间内，以不可忽略的概率破解加密方案

假设说明

• 假设$\mathrm{X}$就现在来说，确实是成立的，也就是说，不存在任何多项式算法，可以不可忽略的概率解决该类问题
• 也就是说，我们在安全定义中所称为的“假设”，在接下来的证明过程中，是作为一个前提条件存在的，不是事实上的假设

规约

规约情景

• 现在，$\mathrm{A}$声称能够有效破解$\Pi$，即它能够在多项式时间内以不可忽略的$\epsilon (n)$破解$\Pi$
• $$\begin{gathered} {\mathrm{A}}^{{ \\ }^{\prime }} \end{gathered}$$一直在尝试解决$\chi$，它听说$\mathrm{A}$能破解$\Pi$，并且知道$\chi$正是$\Pi$所依赖的假设中的一个具体的问题
• 于是$$\begin{gathered} {\mathrm{A}}^{{ \\ }^{\prime }} \end{gathered}$$就基于$\chi$，构造了一个具体加密方案$\pi$
• $$\begin{gathered} {\mathrm{A}}^{{ \\ }^{\prime }} \end{gathered}$$带着方案$\pi$去找$\mathrm{A}$

规约任务

• 证明$\mathrm{A}$在扯淡

规约过程

1. 假设$\mathrm{A}$不是在扯淡
2. $$\begin{gathered} A^{{ \\ }^{\prime }} \end{gathered}$$将$\chi$的输入，转换为$\pi$的输入，让$\mathrm{A}$破解$\pi$
3. 因为$\mathrm{A}$能有效破解$\pi$，所以它在多项式时间内，以不可忽略的$\epsilon (n)$给出了$\pi$的解
4. $$\begin{gathered} {\mathrm{A}}^{{ \\ }^{\prime }} \end{gathered}$$将得到的解转换为$\chi$的解
5. $\chi$在多项式时间内以不可忽略的概率被解决了
6. 已知$\chi$不能在多项式时间内以不可忽略的成功概率解决
7. 产生了矛盾
8. $\mathrm{A}$在扯淡

总结

• 上述过程实际在$2-4$步体现了规约
• 规约法本质就是对问题的转换，即把解决问题$B$转换为解决问题$A$，一旦$A$得到了解决，那么相应的就可以解决问题$B$
• 同样的，如果所有人都知道$B$不可解，而有人声称可以解决$A$(当然，这个人也知道$B$不可解，只是它不知道$B$和$A$的规约关系)，那么显然，这个人在扯淡。或者，也有一种以可以忽略的概率发生的情况：它真的解决了$A$。然而，可忽略的事情是不可能发生的，除非，哪里出现了问题