剩余类（同余类）
定义
给定一个正整数 \(n\)，把所有整数根据模 \(n\) 的余数 \(r\in[0,n-1]\) 分为 \(n\) 类，每一类数都是诸如 \(C_r=n*x+r,\ x\in Z\) 的形式，这样的一类数所构成的一个集合称为模 \(n\) 的剩余类。
例如我们取 \(n=1145,\ r=14\)，则 \(C_{14}=1145x+14\)，为模 \(1145\) 的剩余系，\(-1131,14,1159\) 都是其中的元素。
性质
剩余类的性质都很显然，没什么好说的，直接过了。
剩余系
定义
给定一个正整数 \(n\) 和一个整数集 \(r\)，把 \(r\) 中所有元素对 \(n\) 取模后的所有余数去重后构成一个新的集合，我们则称这个新集合为模 \(n\) 的剩余系，即我们可以将一个满足 \(0\leq r_i\leq n-1,\ r_i\in Z,\ m\leq n-1\)，且不含重复元素的集合 \(\{r_0,r_1,r_2\dots r_m\}\) 称为模 \(n\) 的剩余系。
例如我们取 \(n=1145\)，则 \(r=\{11,4,5,14\}\) 是一个模 \(114514\) 的剩余系。
性质
没啥性质，略。
完全剩余系（完系）
定义
给定一个正整数 \(n\)，有 \(n\) 个不同的模 \(n\) 的剩余类，从这 \(n\) 个不同的剩余类中各取出一个元素，总共 \(n\) 个数，将这些数构成一个新的集合，则称这个集合为模 \(n\) 的完全剩余系。
例如我们取 \(n=5\)，则 \(\{0,1,2,3,4\}\) 是一个模 \(5\) 的完全剩余系，\(\{5,1,8,-3,14\}\) 也是一个模 \(5\) 的完全剩余系。
性质
对于一个模 \(n\) 的完全剩余系 \(r\)，若有 \(a\in Z,\ b\in Z\)，且 \(\gcd(n,a)=1\)，则 \(a*r_i+b\ (i\in[0,n-1])\) 也构成一个模 \(n\) 的完全剩余系。
证明：
命题 \(1\) ：如果 \(r\) 是一个模 \(n\) 的剩余系，那 \(r_i+b\) 一定也构成一个模 \(n\) 的完全剩余系。
反证法，若 \(r_i+b\) 不构成一个模 \(n\) 的完全剩余系，则存在两个元素同余 \(n\)，即有 \(r_x+b\equiv r_y+b\pmod n\)，同余式两边同时减去 \(b\)，有 \(r_x\equiv r_y\pmod n\)，与 \(r\) 是一个模 \(n\) 的剩余系这一前提矛盾，命题 \(1\) 得证。
命题 \(2\)：若 \(r\) 是一个模 \(n\) 的完全剩余系，对于任意的整数 \(a\)，若有 \(\gcd(a,n)=1\)，则 \(a*r_i\) 也构成一个模 \(n\) 的完全剩余系。
同样是反证法，若结论不成立，则有 \(a*r_x\equiv a*r_y\pmod n\)，因为 \(\gcd(a,n)=1\)，所以一定存在 \(a\mod p\) 的逆元 \(inv(a)\)，同余式两边同时乘以 \(inv(a)\)，则有 \(r_x\equiv r_y\pmod n\)，与前提矛盾，命题 \(2\) 得证。
这俩个命题都得证，所以 \(a*r_i\) 构成一个模 \(n\) 的完全剩余系，\(a*r_i+b\) 也构成一个模 \(n\) 的完全剩余系，故性质得证。
简化剩余系（既约剩余系、缩系）
定义
给定一个正整数 \(n\)，有 \(\varphi(n)\) 个不同的、模 \(n\) 的余数 \(r\) 与 \(n\) 互质的剩余类，从这 \(\varphi(n)\) 个剩余类中各取出一个元素，总共 \(\varphi(n)\) 个数，将这些数构成一个新的集合，则称这个集合为模 \(n\) 的完全剩余系。
例如我们取 \(n=10\)，则 \(\{1,3,7,9\}\) 是一个模 \(10\) 的简化剩余系；取 \(n=5\)，则 \(\{1,8,7,14\}\) 是一个模 \(5\) 的简化剩余系，显然模 \(n\) 的简化剩余系中所有的数都与 \(n\) 互质。
性质
对于一个模 \(n\) 的简化剩余系 \(r\)，若有 \(a\in Z\) 且 \(\gcd(n,a)=1\)，则 \(a*r_i\) 也构成一个模 \(n\) 的简化剩余系。证明跟上面的差不多，反证就完了嗷。