2021华东杯&华中杯数学建模思路论文群6

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华中杯A 题 马赛克瓷砖选色问题
马赛克瓷砖是一种尺寸较小（常见规格为边长不超过 5cm）的正方形瓷砖，便于在非
平整的表面铺设，并且容易拼接组合出各种文字或图案。但是受工艺和成本的限制，瓷砖
的颜色只能是有限的几种。用户在拼接图案时，首先要根据原图中的颜色，选出颜色相近
的瓷砖，才能进行拼接。
某马赛克瓷砖生产厂只能生产 22 种颜色（见附件 1）的马赛克瓷砖。该厂要开发一个
软件，能够根据原始图片的颜色，自动找出颜色最接近的瓷砖，以减少客户人工选色的工
作量。该厂希望你们团队提供确定原始颜色与瓷砖颜色对应关系的算法。假设原始图像为
24 位真彩色格式，即 R、G、B 三个颜色分量均为 8 位，共有28 × 28 × 28 = 16777216种
颜色，对于任何一种指定的颜色，算法输出颜色最相近的瓷砖的颜色编号。
请完成以下任务。
1）附件 2 是图像 1 中的 216 种颜色，附件 3 是图像 2 中的 200 种颜色，请找出与每种
颜色最接近的瓷砖颜色，将选出的瓷砖颜色的编号按照附件 4 的要求输出至结果文件。 2）如果该厂技术革新，计划研发新颜色的瓷砖。那么，不考虑研发难度，只考虑到
拼接图像的表现力，应该优先增加哪些颜色的瓷砖？当同时增加 1 种颜色、同时增加 2 种
颜色、……、同时增加 10 种颜色时，分别给出对应颜色的 RGB 编码值。
3）如果研发一种新颜色瓷砖的成本是相同的，与颜色本身无关，那么，综合考虑成
本和表现效果，你们建议新增哪几种颜色，说明理由并给出对应的 RGB 编码值。
附 数据说明
附件 1：现有瓷砖颜色
编号 RGB 编号 RGB 编号 RGB 编号 RGB 编号 RGB
1 0,0,0 6 27,115,186 11 92,59,144 16 17,168,226 21 249,225,214
2 255,255,255 7 53,118,84 12 11,222,222 17 255,110,0 22 186,149,195
3 255,0,0 8 244,181,208 13 228,0,130 18 201,202,202
4 246,232,9 9 255,145,0 14 255,218,32 19 255,249,177
5 72,176,64 10 177,125,85 15 118,238,0 20 179,226,242
附件 2：图像 1 颜色列表
附件 3：图像 2 颜色列表
附件 4：选色结果文件格式

1. 附件 2 的选色结果保存在 result1.txt 中。附件 3 的选色结果保存在 result2.txt 中。
2. 只写瓷砖颜色编号（附件 1 中“编号”列），不要写 RGB 值

华东杯
A 题 机器人扔瓶子
某机器人大赛，要求参赛选手设计机器人，使其将瓶子抛掷到某一个指定位
置的桌面，并且瓶子正面朝上地站立在桌面上。
如何设计这样的机器人，使得机器人能够准确无误地完成这项任务？请建立
数学模型回答这一问题，针对不同的情况给出相应的参数值，同时绘制瓶子运动
的动态效果图。
B 题 建立新冠病毒群体免疫屏障
为了巩固经济增长基础、保障国内国际双循环，中国政府已决定在全国进行
全人群的新冠病毒疫苗接种，以建立最大规模的国民群体新冠免疫屏障。

1. 建立传染病毒群体免疫屏障的数学模型，说明疫苗接种率的控制对构筑
   免疫屏障的作用。在此基础上考虑疫苗的有效性问题和病毒的变异问题对免疫屏
   障的可能影响。讨论免疫屏障和物理隔离对于整个社会的代价及收益的异同。
2. 以一个中国的大城市为例，考虑采取怎样的步骤、需要多大成本、多长时
   间可完成群体免疫屏障的建立。
3. 美国是世界上新冠疫情最严重的国家，也是大规模、快速度接种新冠疫苗
   的国家之一，最近美国的疫情有了趋于好转的迹象，试分析接种疫苗对美国疫情
   改变的影响，预测美国疫情的走向。
   C 题 布线问题
   有一个尺寸为12 cm × 12 cm 矩形电子线路板，上下左右的边沿均匀布满了
   若干个端口，分别记为 A1_A5，B1B5，C1_C5，D1D5，如图 1 所示。 图 1
   某种电子零部件需要把这些端口按照连接表（表 1）用导线相连，每根导线
   都要粘贴在电子线路板上。如果导线无法按照下列不同要求布置，则可以分层布
   置，即安排几个完全相同的电子线路板，这几个线路板的同名端口都有导线贯穿
   而直接相连，且某根导线在某一层连接了特定的两个端口，这样就认为这两个端
   口连接在了一起。 表 1
   起始端口 A1 B2 A2 D1 B4 A4 C2 D3 C4 C5
   终止端口 B1 C1 A5 B3 A3 B5 D2 C3 D5 D4
4. 如果导线可以直线相连，但导线不允许相交，则最少需要多少块相同的电
   路板？
5. 如果导线可以直线相连，但任意一根导线与其他所有导线最多相交一次，
   则最少需要多少块相同的电路板？
6. 如果从端口发出的导线以及进入端口的导线只能垂直于端口所在边沿，
   导线在线路板中转弯时转弯半径不能小于 1 cm，且每次转弯只能转过 90 度的整
   数倍。每根导线的交叉数和转弯数的和不大于 2，则最少需要多少块相同的电路
   板？
7. 针对尺寸为18 cm × 18 cm 每边 8个端口均匀分布的电子线路板（图 2），
   以及连接表（表 2），重新求解问题 1~问题 3。
   图 2 表 2
   起始端口 A1 B1 B2 A2 B4 A3 B5 B6
   终止端口 B3 C2 C3 D2 C1 D1 C4 C5
   起始端口 A4 A5 B7 A6 A7 B8 D4 C8
   终止端口 A8 C6 D
   5 D3 D6 C7 D8 D7