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自控第三章线性系统的时域分析法（超详细适合复习看，考点全覆盖）

1.线性系统的时域性能指标

1.1延迟时间

1.2上升时间

1.3峰值时间

1.4调节时间

1.5超调量

1.6稳态误差

2.一阶系统的时域分析

2.1一阶系统的单位阶跃响应

3.二阶系统的时域分析

3.1二阶系统的单位阶跃响应

3.1.1过阻尼()

3.1.2临界阻尼()

3.1.3零阻尼()

3.1.4欠阻尼()

3.2欠阻尼二阶系统的瞬态响应指标分析

3.2.1上升时间

3.2.2峰值时间

3.2.3t调节时间

3.2.4超调量

4.二阶系统的改善

4.1 误差的PD(比例—微分)控制

4.3 PD控制与测速反馈控制的比较

5.线性系统的稳定性分析

5.1线性系统稳定的充分必要条件

5.2劳斯稳定判据

5.2.1 劳斯表

5.2.2劳斯判据的判定规则

5.2.3劳斯稳定判据的特殊情况

6.控制系统的稳态误差

6.1 给定输入信号下的稳态误差

6.2系统的类型

6.3不同输入信号下的稳态误差

6.3.1阶跃输入信号下稳态误差

6.3.2 斜坡输入信号下稳态误差

6.3.3 抛物线输入信号下稳态误差

6.4扰动信号下的稳态误差

1.线性系统的时域性能指标

线性系统的时域性能指标是在单位阶跃函数作用下的响应指标

1.1延迟时间 $t_{d}$

响应曲线第一次到达最大值一半的时间

1.2上升时间 $t_{r}$

响应曲线第一次到达稳态值的时间

1.3峰值时间 $t_{p}$

响应曲线第一次到达峰值的时间

1.4调节时间 $t_{s}$

响应曲线第一次到达区间[0.95 $c(\infty )$ ,1.05 $c(\infty )$ ]内的时间（或者2%）

1.5超调量 $\sigma %$

$\sigma %=\frac{c(t)_{max}-c(\infty )}{c(\infty )}$

1.6稳态误差 $e_{ss}$

$e_{ss}=\lim_{t\rightarrow \infty }e(t)=\lim_{t\rightarrow \infty }(r(t)-b(t))$

2.一阶系统的时域分析

2.1一阶系统的单位阶跃响应

可以看到一阶系统的单位阶跃响应随着指数函数单调上升，稳态值为1。

3.二阶系统的时域分析

3.1二阶系统的单位阶跃响应

特征根为 $s_{1,2}=-\zeta \omega _{n}\pm \omega _{n}\sqrt{\zeta ^{2}-1}$

3.1.1过阻尼( $\zeta >1$ )

在这情况下闭环传递函数的两个极点都是实数，则响应曲线为单调函数，利用终值定理和初值定理可以得到响应曲线初始为0，终值为1，所有函数曲线单调递增，当 $\zeta$ 增大时一个极点逐渐远离原点，一个极点逐渐靠近原点，远离原点的极点的影响可以忽略不计，可以把这时候的二阶系统简化为一阶系统分析，工程上当 $\zeta >1.25$ 便可近似为一阶分析。如果s2到原点的距离超过了s1到原点距离的四倍，则调节时间 $t_{s}\approx 3T_{1}=3\frac{-1}{s_{1}}$ .

3.1.2临界阻尼( $\zeta =1$ )

此情况下两个闭环极点重合

该响应曲线也是单调递增的，初值为0终值为1，而且快速性比较好。

3.1.3零阻尼( $\zeta =0$ )

响应曲线是振幅为一，角频率为 $\omega _{n}$ 的等幅振荡。

3.1.4欠阻尼( $0<\zeta <1$ )

当 $0<\zeta <1$ 时，闭环函数的两个极点是共轭复数，

$s_{1,2}=-\zeta \omega _{n}\pm \omega _{n}\sqrt{\zeta ^{2}-1}$ ，响应曲线是振荡曲线，欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为：

其中 $\omega _{d}=\omega _{n}\sqrt{1-\zeta ^{2}}$ ，极点的实部 $\zeta \omega _{n}$ 为衰减系数决定了衰减的快慢，极点的虚部为振荡频率，其中 $\beta =acrcos\zeta$ ,称为阻尼角。可以知道阻尼系数对二阶系统单位阶跃响应有很大影响，当 $\zeta$ 越小时，系统的上升时间越短但平稳性差， $\zeta$ 增大时，超调量减小，衰减加快，振荡性降低，平稳性好， $\zeta$ 增大到1及大于1以后，响应变为非周期无振荡的，但响应速度明显变慢，通常取 $\zeta$ =0.4~0.8，此时系统的超调量适度，调节时间较短，工程上将 $\zeta$ =0.707附近的系统称为二阶最优系统，0.707为最佳阻尼系数。

3.2欠阻尼二阶系统的瞬态响应指标分析

3.2.1上升时间 $t_{r}$

3.2.2峰值时间 $t_{p}$

3.2.3t调节时间 $t_{s}$

3.2.4超调量 $\sigma %$

4.二阶系统的改善

4.1 误差的PD(比例—微分)控制

单纯调节比例系数K难以使系统满足瞬态指标以及控制精度，比例控制与微分或积分共同二作用或三作用的控制器，这样便有两个或三个参数可功调节，容易满足控制系统指标的要求。

将误差与误差微分之和作用到被控对象上就是PD控制，如图所示

这时候的闭环传递函数为：

其中 $\zeta _{d}=\zeta +\frac{1}{2}T_{d}\omega _{n}$ ，称为等效阻尼比，通过改变Td的大小进而可以改变系统阻尼比的大小，从而调节系统的时域指标。加入PD控制后的二阶系统阶跃响应为：

PD控制的引入对系统的性能有如下影响：

（1）增大系统的等效阻尼比，合适的Td可以使c1(t)曲线比较平缓，从而可以抑制振荡，使超调减弱，改善系统的平稳性.

（2）闭环零点的微分作用，使c1(t)加上了它的微分信号，加快了c(t)的响应速度，使上升时间缩短，峰值提前。

4.2输出量的速度反馈控制

将误差与输出量的微分之差作用到受控对象就是速度反馈控制，如图所示：

若认为输出为位置信号，则经过Kts微分后变成速度信号，Kt称为速度反馈系数，系统的闭环传递函数为：

其中 $\zeta _{t}=\zeta +\frac{1}{2}K_{t}\omega _{n}$ 称为等效阻尼比，阻尼比增大后，超调量与调整时间都会减小，有利于改善系统的平稳性与快速性。

4.3 PD控制与测速反馈控制的比较

（1）PD控制器对输入噪声有较强放大作用，当输入端噪声严重时，不宜使用。而且PD控制器的输入信号为误差信号，信号能量较小，需要选取性能较好的放大器才能在一直噪声的同时产生有效的控制信号，而测速反馈信号来自于系统输出，信号的能量水平较高。

（2）加入PD控制不会影响单纯比例控制时的开环增益以及自然频率，而速度反馈控制系统为保证稳态精度往往会提高比例系数，以补偿速度反馈导致的系统开环增益下降，系统的自然频率升高，当系统存在高频噪声时，会引起共振。

（3）PD成本较低，速度反馈成本高，相同阻尼比的情况下，串联PD控制后系统的超调量要大于输出量速度反馈系统的超调量，因为闭环零点有消弱阻尼的作用。

5.线性系统的稳定性分析

5.1线性系统稳定的充分必要条件

判断系统是否稳定，可以给系统施加一个扰动信号，分析在扰动信号下的响应稳态值是否为0即可，我们通常选取单位脉冲信号作为扰动信号，则当 $\lim_{t\rightarrow\infty }c(t)=0$ 时，系统就是稳定的。

通过对闭环传递函数进行反拉式变换我们可得到以下结论：线性系统的稳定性只与闭环传递函数特征方程根的分布有关

（1）特征根位于s左半平面则系统稳定

（2）特征根有一个或一个以上位于虚轴则系统临界稳定（其余根都位于s左半平面）

（3）特征根有一个或一个以上位于s右半平面则系统不稳定

5.2劳斯稳定判据

判断系统稳定首先我们要对闭环系统特征方程的特征根进行分析，判断其是否位于s左半平面，通过劳斯代数稳定判据，我们可以便捷的确定特征根实部的符号。

5.2.1 劳斯表

我们以特征方程 $D(s)=s^{4}+2s^{3}+3s^{2}+4s+5$ =0为例，列出如下的劳斯表：

$s^{4}$	a0=1	a2=3	a4=5
$s^{3}$	a1=2	a3=4	a5=0
$s^{2}$	$\frac{a1\cdot a2-a0\cdot a3}{a1}$ =1	$b2=\frac{a1\cdot a4-a0\cdot a5 }{a1}$ =5	0
$s^{1}$	$c1=\frac{b1\cdot a3-a1\cdot b2}{b1}$ =-6	0
$s^{0}$	5

5.2.2劳斯判据的判定规则

(1)若劳斯表中第一列所有系数均大于0时，系统稳定，此时所有特征根都位于s左半平面

(2)若劳斯表第一列出现小于0的系数时，则系统不稳定，且第一列各系数符号的改变次数就是位于s平面右半部的特征根个数

5.2.3劳斯稳定判据的特殊情况

(1)劳斯表某行的第一列系数为0，但该行其余系数不全为0

我们以特征方程 $D(s)=s^{4}+2s^{3}+s^{2}+2s+1=0$ 为例：

$s^{4}$	1	1	1
$s^{3}$	2	2	0
$s^{2}$	（0） $\varepsilon$	1	0
$s^{1}$	$\frac{2\varepsilon-2 }{\varepsilon }<0$	0
$s^{0}$	1

此时用无穷小量 $\varepsilon$ 代替0,可以求得第一列剩余系数，如例子中第一列变号2次，则系统有两个位于s右半平面的根,若第一列没有变号则说明系统存在纯虚数形式的特征根，因此系统也是不稳定的

(2)劳斯表中出现全零行

这种情况下表面在特征方程中存在绝对值相同但符号相异的特征根，可能是一对实数或者一对纯虚数或者是一对共轭复数

我们以特征方程 $D(s)=s^{6}+s^{5}-2s^{4}-3s^{3}-7s^{2}-4s-4=0$ 为例：

$s^{6}$	1	-2	-7	-4
$s^{5}$	1	-3	-4	0
$s^{4}$	1	-3	-4	0
$s^{3}$	0(4)	0(-6)	0
$s^{2}$	-1.5	-4
$s^{1}$	-16.7	0
$s^{0}$	-4

用全零行上一行的系数构造辅助方程F(s)=0,然后对该方程求导，用所得导数的系数代替全0行。

当第一列系数出现变号时，变号次数就是系统在s平面右半平面的特征根个数，若不变号，则系统存在纯虚根。解辅助方程 $F(s)=s^{4}-3s^{2}-4=0$ 得到产生全零行的特征根分别为 $\pm 2$ ， $\pm j$ 。

6.控制系统的稳态误差

上图为基本的负反馈控制系统框图，R(s)是输入信号，C (s)是输出信号，G1(s)是控制器，G2(s)是被控对象，N(s)为扰动信号，H(s)是测量元件，B(s)是测量元件的输出信号,从输入端定义误差为：

6.1 给定输入信号下的稳态误差

$E(s)=\frac{1}{1+G(s)H(s)}R(s)=\Phi _{e}(s)R(s)$

$\Phi _{e}(s)$ 为误差传递函数。

由终值定理可得： $e_{ss}=\lim_{t\rightarrow \infty }e(t)=\lim_{s\rightarrow 0}sE(s)=\lim_{s\rightarrow 0}\frac{sR(s)}{1+G(s)H(s)}$

由该式可知稳态误差ess由系统的结构参数和系统输入信号的形式有关。

6.2系统的类型

系统的稳态误差与系统的类型有很大关系，设开环传递函数为：

$G(s)H(s)=\frac{K\prod_{i=1}^{m}(\tau _{i}s+1)}{s^{v}\prod_{j=1}^{n-v}(T_{j}s+1)}$

$e_{ss}=\lim_{s\rightarrow 0}\frac{s^{v+1}R(s)}{K+s^{v}}$ 所以稳态误差只与系统开环增益K以及开环传递函数的积分个数v有关。

v=0，称为0型系统

v=1，称为I型系统

v=2，称为II型系统

6.3不同输入信号下的稳态误差

6.3.1阶跃输入信号下稳态误差

$R(s)=\frac{R}{s}$

$e_{ss}=\lim_{s\rightarrow0}sE(s)=\lim_{s\rightarrow 0}\frac{sR(s)}{1+G(s)H(s)}=\lim_{s\rightarrow 0}\frac{R}{1+G(s)H(s)}=\frac{R}{1+K_{p}}$

$K_{P}=\lim_{s\rightarrow 0}G(s)H(s)=\lim_{s\rightarrow 0}\frac{K}{s^{v}}$ , 称为稳态位置误差系数。

0型系统 $K_{p}=K$ , $e_{ss}=\frac{R}{1+K}$

I,II型系统 $K_{p}=\infty$ , $e_{ss}=0$ .

6.3.2 斜坡输入信号下稳态误差

$R(s)=\frac{V}{s^{2}}$

$e_{ss}=\lim_{s\rightarrow 0}\frac{V}{sG(s)H(s)}=\frac{V}{K_{v}}$

$K_{v}=\lim_{s\rightarrow 0}sG(s)H(s)=\lim_{s\rightarrow 0}\frac{K}{s^{v-1}}$ ,称为稳态速度误差系数

0型系统 $K_{v}=0,e_{ss}=\infty$

I型系统 $K_{v}=K,e_{ss}=\frac{V}{K}$

II型系统 $K_{v}=\infty,e_{ss}=0$

6.3.3 抛物线输入信号下稳态误差

$R(s)=\frac{A}{s^{3}}$

$e_{ss}=\lim_{s\rightarrow 0}\frac{A}{s^{2}G(s)H(s)}=\frac{A}{K_{a}}$

$K_{a}=\lim_{s\rightarrow 0}s^{2}G(s)H(s)=\lim_{s\rightarrow 0}\frac{K}{s^{v-2}}$ ,称为稳态加速度误差系数

0、I型系统 $K_{a}=0,e_{ss}=\infty$

II型系统 $K_{a}=K,e_{ss}=\frac{A}{K}$

当R(s)=0时，扰动信号N(s)作用下的系统误差称为扰动误差，从输入端定义的扰动误差为：

$E_{n}(s)=R(s)-B(s)=-C(s)H(s)=(E_{n}(s)G_{1}(s)+N(s))G_{2}(s)H(s)$

$E_{n}(s)=\frac{-G_{2}(s)H(s)}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)}N(s)=\Phi _{n}(s)N(s)$

若sEn(s)在s右半平面以及虚轴上解析，则通过终值定理可以求得系统的扰动稳态误差

$e_{ss}=\lim_{s\rightarrow 0}sE_{n}(s)=\lim_{s\rightarrow 0}\frac{-sG_{2}(s)H(s)}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)}N(s)$

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今天读到佛学书籍的一段话：初学者很难直接体验到无我，但可以经常提醒自己：一切事物都是无我的。不断强化这个观念，也会相当有帮助。比如生病了我们一般会说：“我不舒服！我很痛！我很惨！”这时候如果我们提醒自己：没有我，只是这个肉体的某些部分、某些功能出了问题，不舒服、疼痛也只是一时的感受，而感受随时在变化。仅仅是知道没有一个实存的我在生病、在受苦。然后把“一切事物都是无我的”这句话，记到笔记上，并且朗读
新能源汽车 BMS 学习笔记篇—BMS 基本定义及分类 WPG大大通其他笔记汽车 BMS 经验分享新能源电池
一、BMS定义1、概念：BMS（BatteryManagementSystem）即电池管理系统，其管理对象是二次电池（充电电池或蓄电池），其主要目的是电池的利用率，防止电池出现过度充电和过度放电，可应用于电动汽车、电瓶车、机器人、无人机等图片来源：腾讯网https://new.qq.com《标准普尔警告，电动汽车电池生产面临供应链和地缘政治风险》2、四大功能①感知和测量：检测电池的电压、电流、温度
机器学习-聚类算法不良人龍木木机器学习机器学习算法聚类
机器学习-聚类算法1.AHC2.K-means3.SC4.MCL仅个人笔记，感谢点赞关注！1.AHC2.K-means3.SC传统谱聚类：个人对谱聚类算法的理解以及改进4.MCL目前仅专注于NLP的技术学习和分享感谢大家的关注与支持！
LeetCode github集合，附CMU大神整理笔记 Wesley@ LeetCode github
GithubLeetCode集合本人所有做过的题目都写在一个java项目中，同步到github中了，算是见证自己的进步。github目前同步的题目是2020-09-17日之后写的题。之前写过的题会陆续跟新到github中。目前大概400个题目Github项目链接：https://github.com/sunliancheng/leetcode_github附上一份优秀的教材整合：这是卡内基梅隆(C
ViewController添加button按钮解析。（翻译）张亚雄 c
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mongoDB 简单的增删改查开窍的石头 mongodb
在上一篇文章中我们已经讲了mongodb怎么安装和数据库/表的创建。在这里我们讲mongoDB的数据库操作在mongo中对于不存在的表当你用db.表名他会自动统计下边用到的user是表明，db代表的是数据库添加(insert):
log4j配置 0624chenhong log4j
1) 新建java项目 2) 导入jar包，项目右击，properties—java build path—libraries—Add External jar，加入log4j.jar包。 3) 新建一个类com.hand.Log4jTest package com.hand; import org.apache.log4j.Logger; public class
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多点触摸的事件跟单点是大同小异的，上个图片缩放的代码，供大家参考一下 import android.app.Activity; import android.os.Bundle; import android.view.MotionEvent; import android.view.View; import android.view.View.OnTouchListener
有关浏览器窗口宽度高度几个值的解析换个号韩国红果果 JavaScript html
1 元素的 offsetWidth 包括border padding content 整体的宽度。 clientWidth 只包括内容区 padding 不包括border。 clientLeft = offsetWidth -clientWidth 即这个元素border的值 offsetLeft 若无已定位的包裹元素
数据库产品巡礼：IBM DB2概览蓝儿唯美 db2
IBM DB2是一个支持了NoSQL功能的关系数据库管理系统，其包含了对XML，图像存储和Java脚本对象表示（JSON）的支持。DB2可被各种类型的企业使用，它提供了一个数据平台，同时支持事务和分析操作，通过提供持续的数据流来保持事务工作流和分析操作的高效性。 DB2支持的操作系统 DB2可应用于以下三个主要的平台: 工作站，DB2可在Linus、Unix、Windo
java笔记5 a-john java
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Web开发常用手册汇总 aijuans PHP
一门技术，如果没有好的参考手册指导,很难普及大众。这其实就是为什么很多技术，非常好，却得不到普遍运用的原因。正如我们学习一门技术，过程大概是这个样子： ①我们日常工作中，遇到了问题，困难。寻找解决方案，即寻找新的技术； ②为什么要学习这门技术？这门技术是不是很好的解决了我们遇到的难题，困惑。这个问题，非常重要，我们不是为了学习技术而学习技术，而是为了更好的处理我们遇到的问题，才需要学习新的
今天帮助人解决的一个sql问题 asialee sql
今天有个人问了一个问题，如下： type AD value A
意图对象传递数据百合不是茶 android 意图Intent Bundle对象数据的传递
学习意图将数据传递给目标活动; 初学者需要好好研究的 1,将下面的代码添加到main.xml中 <?xml version="1.0" encoding="utf-8"?> <LinearLayout xmlns:android="http:/
oracle查询锁表解锁语句 bijian1013 oracle object session kill
一.查询锁定的表如下语句，都可以查询锁定的表语句一： select a.sid, a.serial#, p.spid, c.object_name, b.session_id, b.oracle_username, b.os_user_name from v$process p, v$s
mac osx 10.10 下安装 mysql 5.6 二进制文件［tar.gz］征客丶 mysql osx
场景：在 mac osx 10.10 下安装 mysql 5.6 的二进制文件。环境：mac osx 10.10、mysql 5.6 的二进制文件步骤：[所有目录请从根“/”目录开始取，以免层级弄错导致找不到目录] 1、下载 mysql 5.6 的二进制文件，下载目录下面称之为 mysql5.6SourceDir；下载地址：http://dev.mysql.com/downl
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《给大忙人看的java8》摘抄 braveCS java8
函数式接口：只包含一个抽象方法的接口 lambda表达式：是一段可以传递的代码你最好将一个lambda表达式想象成一个函数，而不是一个对象，并记住它可以被转换为一个函数式接口。事实上，函数式接口的转换是你在Java中使用lambda表达式能做的唯一一件事。方法引用：又是要传递给其他代码的操作已经有实现的方法了，这时可以使
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Bellman-Ford算法(根据发明者 Richard Bellman 和 Lester Ford 命名)是求解单源最短路径问题的一种算法。单源点的最短路径问题是指：给定一个加权有向图G和源点s，对于图G中的任意一点v，求从s到v的最短路径。有时候这种算法也被称为 Moore-Bellman-Ford 算法，因为 Edward F. Moore zu 也为这个算法的发展做出了贡献。与迪科
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phpize是用来扩展php扩展模块的，通过phpize可以建立php的外挂模块,下面介绍一个它的使用方法,需要的朋友可以参考下安装（fastcgi模式）的时候，常常有这样一句命令：代码如下: /usr/local/webserver/php/bin/phpize 一、phpize是干嘛的？ phpize是什么？ phpize是用来扩展php扩展模块的，通过phpi
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Java进行RSA加解密的例子 tomcat_oracle java
加密是保证数据安全的手段之一。加密是将纯文本数据转换为难以理解的密文；解密是将密文转换回纯文本。　　数据的加解密属于密码学的范畴。通常，加密和解密都需要使用一些秘密信息，这些秘密信息叫做密钥，将纯文本转为密文或者转回的时候都要用到这些密钥。　　对称加密指的是发送者和接收者共用同一个密钥的加解密方法。　　非对称加密(又称公钥加密)指的是需要一个私有密钥一个公开密钥，两个不同的密钥的
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自控第三章线性系统的时域分析法（超详细适合复习看，考点全覆盖）

1.线性系统的时域性能指标

1.1延迟时间

1.2上升时间

1.3峰值时间

1.4调节时间

1.5超调量

1.6稳态误差

2.一阶系统的时域分析

2.1一阶系统的单位阶跃响应

3.二阶系统的时域分析

3.1二阶系统的单位阶跃响应

3.1.1过阻尼()

3.1.2临界阻尼()

3.1.3零阻尼()

3.1.4欠阻尼()

3.2欠阻尼二阶系统的瞬态响应指标分析

3.2.1上升时间

3.2.2峰值时间

3.2.3t调节时间

3.2.4超调量

4.二阶系统的改善

4.1 误差的PD(比例—微分)控制

4.3 PD控制与测速反馈控制的比较

5.线性系统的稳定性分析

5.1线性系统稳定的充分必要条件

5.2劳斯稳定判据

5.2.1 劳斯表

5.2.2劳斯判据的判定规则

5.2.3劳斯稳定判据的特殊情况

6.控制系统的稳态误差

6.1 给定输入信号下的稳态误差

6.2系统的类型

6.3不同输入信号下的稳态误差

6.3.1阶跃输入信号下稳态误差

6.3.2 斜坡输入信号下稳态误差

6.3.3 抛物线输入信号下稳态误差

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1.1延迟时间 $t_{d}$

1.2上升时间 $t_{r}$

1.3峰值时间 $t_{p}$

1.4调节时间 $t_{s}$

1.5超调量 $\sigma %$

1.6稳态误差 $e_{ss}$

3.1.1过阻尼( $\zeta >1$ )

3.1.2临界阻尼( $\zeta =1$ )

3.1.3零阻尼( $\zeta =0$ )

3.1.4欠阻尼( $0<\zeta <1$ )

3.2.1上升时间 $t_{r}$

3.2.2峰值时间 $t_{p}$

3.2.3t调节时间 $t_{s}$

3.2.4超调量 $\sigma %$