Python 第三方模块之 numpy.linalg - 线性代数

目录

numpy.linalg.det() 行列式

numpy.linalg.solve() 方程的解

numpy.linalg.inv() 逆矩阵

np.linalg.eig 特征值和特征向量

np.linalg.svd 奇异值分解

np.linalg.pinv 广义逆矩阵（QR分解）

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numpy.linalg模块包含线性代数的函数。使用这个模块，可以计算逆矩阵、求特征值、解线性方程组以及求解行列式等线性代数所需的功能

numpy.linalg.det() 行列式

numpy.linalg.det() 函数计算输入矩阵的行列式。

行列式在线性代数中是非常有用的值。 它从方阵的对角元素计算。 对于 2×2 矩阵，它是左上和右下元素的乘积与其他两个的乘积的差。换句话说，对于矩阵[[a，b]，[c，d]]，行列式计算为 ad-bc。 较大的方阵被认为是 2×2 矩阵的组合。

import numpy as np 
a = np.array([[1,2], [3,4]]) 
print (np.linalg.det(a))  # 输出结果为：-2.0

b = np.array([[6,1,1], [4, -2, 5], [2,8,7]]) 
print (b) 
print (np.linalg.det(b)) 
print (6*(-2*7 - 5*8) - 1*(4*7 - 5*2) + 1*(4*8 - -2*2))

输出结果为：
[[ 6  1  1]
 [ 4 -2  5]
 [ 2  8  7]]
-306.0
-306

numpy.linalg.solve() 方程的解

numpy.linalg.solve() 函数给出了矩阵形式的线性方程的解。比如求解形如 Ax = b 的线性方程组，其中 A 为矩阵，b 为一维或二维的数组，x 是未知变量

import numpy as np

# 创建矩阵和数组
B = np.mat("1 -2 1;0 2 -8;-4 5 9")
b = np.array([0,8,-9])

# 调用solve函数求解线性方程
x = np.linalg.solve(B,b)
print (x)
# [29. 16. 3.]

# 使用dot函数检查求得的解是否正确
print (np.dot(B , x))
# [[ 0. 8. -9.]]

numpy.linalg.inv() 逆矩阵

numpy.linalg.inv() 函数计算矩阵的乘法逆矩阵。

逆矩阵（inverse matrix）：设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E ，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。

注：矩阵必须是方阵且可逆，否则会抛出LinAlgError异常

 

import numpy as np 
x = np.array([[1,2],[3,4]]) 
y = np.linalg.inv(x) 
print (x) 
print (y) 
print (np.dot(x,y))

输出结果为：
[[1 2]
 [3 4]]
[[-2.   1. ]
 [ 1.5 -0.5]]
[[1.0000000e+00 0.0000000e+00]
 [8.8817842e-16 1.0000000e+00]]

实例

import numpy as np
a = np.array([[1,1,1],[0,2,5],[2,5,-1]]) 
print ('数组 a：') 
print (a) ainv = np.linalg.inv(a) 
print ('a 的逆：') 
print (ainv) 
print ('矩阵 b：') 
b = np.array([[6],[-4],[27]]) 
print (b) 
print ('计算：A^(-1)B：') x = np.linalg.solve(a,b) 
print (x) # 这就是线性方向 x = 5, y = 3, z = -2 的解

输出结果为：
数组 a：
[[ 1  1  1]
 [ 0  2  5]
 [ 2  5 -1]]
a 的逆：
[[ 1.28571429 -0.28571429 -0.14285714]
 [-0.47619048  0.14285714  0.23809524]
 [ 0.19047619  0.14285714 -0.0952381 ]]
矩阵 b：
[[ 6]
 [-4]
 [27]]
计算：A^(-1)B：
[[ 5.]
 [ 3.]
 [-2.]]

np.linalg.eig 特征值和特征向量

特征值（eigenvalue）即方程 Ax = ax 的根，是一个标量。特征向量（eigenvector）是关于特征值的向量

numpy.linalg模块中，eigvals函数可以计算矩阵的特征值，而eig函数可以返回一个包含特征值和对应的特征向量的元组

import numpy as np

# 创建一个矩阵
C = np.mat("3 -2;1 0")

# 调用eigvals函数求解特征值
c0 = np.linalg.eigvals(C)
print (c0)
# [ 2. 1.]

# 使用eig函数求解特征值和特征向量 (该函数将返回一个元组，按列排放着特征值和对应的特征向量，其中第一列为特征值，第二列为特征向量)
c1,c2 = np.linalg.eig(C)
print (c1)
# [ 2. 1.] 
print (c2)
#[[ 0.89442719 0.70710678]
# [ 0.4472136 0.70710678]]

# 使用dot函数验证求得的解是否正确
for i in range(len(c1)):
print ("left:",np.dot(C,c2[:,i]))
print ("right:",c1[i] * c2[:,i])
#left: [[ 1.78885438]
# [ 0.89442719]]
#right: [[ 1.78885438]
# [ 0.89442719]]
#left: [[ 0.70710678]
# [ 0.70710678]]
#right: [[ 0.70710678]
# [ 0.70710678]]

np.linalg.svd 奇异值分解

SVD（Singular Value Decomposition，奇异值分解）是一种因子分解运算，将一个矩阵分解为3个矩阵的乘积

numpy.linalg模块中的svd函数可以对矩阵进行奇异值分解。该函数返回3个矩阵——U、Sigma和V，其中U和V是正交矩阵，Sigma包含输入矩阵的奇异值。

import numpy as np

# 分解矩阵
D = np.mat("4 11 14;8 7 -2")

# 使用svd函数分解矩阵
U,Sigma,V = np.linalg.svd(D,full_matrices=False)
print ("U:",U)
# U: [[-0.9486833 -0.31622777]
# [-0.31622777 0.9486833 ]]

print ("Sigma:",Sigma)
# Sigma: [ 18.97366596 9.48683298]

print ("V",V)
# V [[-0.33333333 -0.66666667 -0.66666667]
# [ 0.66666667 0.33333333 -0.66666667]]
# 结果包含等式中左右两端的两个正交矩阵U和V，以及中间的奇异值矩阵Sigma

# 使用diag函数生成完整的奇异值矩阵。将分解出的3个矩阵相乘
print (U * np.diag(Sigma) * V)
#[[ 4. 11. 14.]
# [ 8. 7. -2.]]

np.linalg.pinv 广义逆矩阵（QR分解）

使用numpy.linalg模块中的pinv函数进行求解,

注：inv函数只接受方阵作为输入矩阵，而pinv函数则没有这个限制

import numpy as np

# 创建一个矩阵
E = np.mat("4 11 14;8 7 -2")

# 使用pinv函数计算广义逆矩阵
pseudoinv = np.linalg.pinv(E)
print (pseudoinv)
#[[-0.00555556 0.07222222]
# [ 0.02222222 0.04444444]
# [ 0.05555556 -0.05555556]]

# 将原矩阵和得到的广义逆矩阵相乘
print (E * pseudoinv)
#[[ 1.00000000e+00 -5.55111512e-16]
# [ 0.00000000e+00 1.00000000e+00]]