ACM-博弈论

有一种很有意思的游戏，就是有物体若干堆，可以是火柴棍或是围棋子等等均可。两个人轮流从堆中取物体若干，规定最后取光物体者取胜。这是我国民间很古老的一个游戏，别看这游戏极其简单，却蕴含着深刻的数学原理。下面我们来分析一下要如何才能够取胜。 （一）巴什博奕（Bash Game）：只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。      显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=（m+1）r+s，（r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。      这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，谁能报到100者胜。 （二）威佐夫博奕（Wythoff Game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。      这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。      可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k，奇异局势有如下三条性质：      1。任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。      由于ak是未在前面出现过的最小自然数，所以有ak > ak-1 ，而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性质1。成立。      2。任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。      事实上，若只改变奇异局势（ak，bk）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（ak，bk）的两个分量同时减少，则由于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。      3。采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。      假设面对的局势是（a,b），若 b = a，则同时从两堆中取走 a 个物体，就变为了奇异局势（0，0）；如果a = ak ，b > bk，那么，取走b   - bk个物体，即变为奇异局势；如果 a = ak ，   b < bk ,则同时从两堆中拿走 ak - ab - ak个物体,变为奇异局势（ ab - ak , ab - ak+ b - ak）；如果a > ak ，b= ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a - ak 即可；如果a < ak ，b= ak + k,分两种情况，第一种，a=aj （j < k）,从第二堆里面拿走 b - bj 即可；第二种，a=bj （j < k）,从第二堆里面拿走 b - aj 即可。      从如上性质可知，两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。      那么任给一个局势（a，b），怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：      ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k   （k=0，1，2，...,n 方括号表示取整函数)奇妙的是其中出现了黄金分割数（1+√5）/2 = 1。618...,因此,由ak，bk组成的矩形近似为黄金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[j（1+√5）/2]，那么a = aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = aj+1，bj+1 = aj+1+ j + 1，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异 局势。 （三）尼姆博奕（Nimm Game）：有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。      这种情况最有意思，它与二进制有密切关系，我们用（a，b，c）表示某种局势，首先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是（0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。仔细分析一下，（1，2，3）也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为（0，n，n）的情形。      计算机算法里面有一种叫做按位模2加，也叫做异或的运算，我们用符号（+）表示这种运算。这种运算和一般加法不同的一点是1+1=0。先看（1，2，3）的按位模2加的结果： 1 =二进制01 2 =二进制10 3 =二进制11 （+） ——————— 0 =二进制00 （注意不进位）      对于奇异局势（0，n，n）也一样，结果也是0。      任何奇异局势（a，b，c）都有a（+）b（+）c =0。 如果我们面对的是一个非奇异局势（a，b，c），要如何变为奇异局势呢？假设 a < b< c,我们只要将 c 变为 a（+）b,即可,因为有如下的运算结果: a（+）b（+）(a（+）b)=(a（+）a)（+）(b（+）b)=0（+）0=0。要将c 变为a（+）b，只要从 c中减去 c-（a（+）b）即可。      例1。（14，21，39），14（+）21=27，39-27=12，所以从39中拿走12个物体即可达到奇异局势（14，21，27）。      例2。（55，81，121），55（+）81=102，121-102=19，所以从121中拿走19个物品就形成了奇异局势（55，81，102）。      例3。（29，45，58），29（+）45=48，58-48=10，从58中拿走10个，变为（29，45，48）。      例4。我们来实际进行一盘比赛看看：          甲:(7,8,9)->(1,8,9)奇异局势          乙:(1,8,9)->(1,8,4)          甲:(1,8,4)->(1,5,4)奇异局势          乙:(1,5,4)->(1,4,4)          甲:(1,4,4)->(0,4,4)奇异局势          乙:(0,4,4)->(0,4,2)          甲:(0.4,2)->(0,2,2)奇异局势          乙:(0,2,2)->(0,2,1)          甲:(0,2,1)->(0,1,1)奇异局势          乙:(0,1,1)->(0,1,0)          甲:(0,1,0)->(0,0,0)奇异局势

甲胜。

 

 

 

火柴遊戲，亦可用牙籤來代替火柴玩遊戲。
一個最普通的火柴遊戲就是兩人一起玩，先置若干支火柴於桌上，兩人輪流取，每次所取
的數目可先作一些限制，規定取走最後一根火柴者獲勝。
規則一：若限制每次所取的火柴數目最少一根，最多三根，則如何玩才可致勝？
例如：桌面上有n=15根火柴，甲﹑乙兩人輪流取，甲先取，則甲應如何取才能致勝？
為了要取得最後一根，甲必須最後留下零根火柴給乙，故在最後一步之前的輪取中，甲不
能留下1根或2根或3根，否則乙就可以全部取走而獲勝。如果留下4根，則乙不能全取，則
不管乙取幾根（1或2或3），甲必能取得所有剩下的火柴而贏了遊戲。同理，若桌上留有8
根火柴讓乙去取，則無論乙如何取，甲都可使這一次輪取後留下4根火柴，最後也一定是甲
獲勝。由上之分析可知，甲只要使得桌面上的火柴數為4﹑8﹑12﹑16…等讓乙去取，則甲
必穩操勝券。因此若原先桌面上的火柴數為15，則甲應取3根。（∵15-3=12）若原先桌面
上的火柴數為18呢？則甲應先取2根（∵18-2=16）。
規則二：限制每次所取的火柴數目為1至4根，則又如何致勝？
原則：若甲先取，則甲每次取時，須留5的倍數的火柴給乙去取。
通則：有n支火柴，每次可取1至k支，則甲每次取後所留的火柴數目必須為k+1之倍數。

 

規則三：限制每次所取的火柴數目不是連續的數，而是一些不連續的數，如1﹑3﹑7，則又
該如何玩法？
分析：1﹑3﹑7均為奇數，由於目標為0，而0為偶數，所以先取者甲，須使桌上的火柴數為
偶數，因為乙在偶數的火柴數中，不可能再取去1﹑3﹑7根火柴後獲得0，但假使如此也不
能保證甲必贏，因為甲對於火柴數的奇或偶，也是無法依照己意來控制的。因為〔偶-奇=
奇，奇-奇=偶〕，所以每次取後，桌上的火柴數奇偶相反。若開始時是奇數，如17，甲先
取，則不論甲取多少（1或3或7），剩下的便是偶數，乙隨後又把偶數變成奇數，甲又把奇
數回覆到偶數，最後甲是注定為贏家；反之，若開始時為偶數，則甲注定會輸。
通則：開局是奇數，先取者必勝；反之，若開局為偶數，則先取者會輸。
規則四：限制每次所取的火柴數是1或4（一個奇數，一個偶數）。
分析：如前規則二，若甲先取，則甲每次取時留5的倍數的火柴給乙去取，則甲必勝。此外
，若甲留給乙取的火柴數為5之倍數加2時，甲也可贏得遊戲，因為玩的時候可以控制每輪
所取的火柴數為5（若乙取1，甲則取4；若乙取4，則甲取1），最後剩下2根，那時乙只能
取1，甲便可取得最後一根而獲勝。
通則：若甲先取，則甲每次取時所留火柴數為5之倍數或5的倍數加2。
 
遊戲規則：
有一堆火柴兩人輪流取，先取的一方可任意取，後取的一方所取的火柴桿數不得超過對方
剛取火柴的2倍，規定取得最後一根者為勝。
設火柴數為n，甲先取，乙後取
當n=3：
若甲取1根剩2根，則乙全取──乙勝。

 

若甲取2根剩1根，則乙取最後1根──乙勝。

 

當n=5：
若甲取1根剩4根，則乙取1根剩3根換甲取，則乙必勝（如上n=3）。

 

若甲取2根剩3根，則乙全取──乙勝。

 

當n=8：
若甲取1根剩7根，則乙取2根剩5根讓甲取，則甲不利（如上n=5）──乙勝。

 

若甲取2根剩6根，則乙取1根剩5根如上，則對甲不利──乙勝。

 

若甲取3根剩5根，則乙可全取──乙勝。

 

若甲先取3根以上，情況如上──乙勝。

 

當n=13：
若甲取1根剩12根，則乙取1根剩11根，則

 

若甲接著取1根剩10根，則乙再取2根剩8根，對甲不利（如上）──故乙勝。
若甲接著取2根剩9根，則乙再取1根剩8根，對甲也不利（如上）──故乙勝。
（註：甲不得接著取超過2根，因為上一次乙取1根。）

 

若甲取2根剩11根，則乙取3根剩8根，對甲不利──乙勝。

 

若甲取3根剩10根，則乙取2根剩8根，情況對甲不利──乙勝。

 

若甲取4根剩9根，則乙取1根剩8根，同樣對甲不利──乙勝。

 

若甲取5根剩8根，則乙可全取──乙勝。

 

若甲取5根以上，情況如上──乙勝。

 

由以上的例子中我們可觀察到，當火柴數為3﹑5﹑8﹑13…等時，對先取者不利。又從上面
例子，當n=13時，發現當火柴數為12時，先取者只要是取1根，必能立於不敗之地。
事實上，此遊戲與著名的斐波南契數列有關，斐波南契數列係由13世紀初，義大利比薩的
數學家Leonardo Pisano（1170～1250）所提出，因其綽號為Fibonacci，故以其名之。斐
波南契在一本叫做算盤書（研究算術代數的書籍）中提出一個有趣的兔子問題：
Q：假設最先有一對兔子，二個月後就能生育一對兔子，初生的兔子二個月後便具有生殖能
力，假設每對成熟具有生殖能力的兔子，每個月均能生育一對兔子，問一年後共有多少對
兔子？（如假設兔子都不死）
假設Xn表n個月後兔子的對數，則X0=1，X1=1，X2=2，X3=3，X4=5，X5=8 且Xn+2=Xn+1+Xn
，n 30，故一年後（即12個月後）共有X12=233