ACM-博弈论

有一种很有意思的游戏,就是有物体若干堆,可以是火柴棍或是围棋子等等均可。两个人轮流从堆中取物体若干,规定最后取光物体者取胜。这是我国民间很古老的一个游戏,别看这游戏极其简单,却蕴含着深刻的数学原理。下面我们来分析一下要如何才能够取胜。
(一)巴什博奕(Bash Game):只有一堆n个物品,两个人轮流从这堆物品中取物,规定每次至少取一个,最多取m个。最后取光者得胜。
     显然,如果n=m+1,那么由于一次最多只能取m个,所以,无论先取者拿走多少个,后取者都能够一次拿走剩余的物品,后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则:如果n=(m+1)r+s,(r为任意自然数,s≤m),那么先取者要拿走s个物品,如果后取者拿走k(≤m)个,那么先取者再拿走m+1-k个,结果剩下(m+1)(r-1)个,以后保持这样的取法,那么先取者肯定获胜。总之,要保持给对手留下(m+1)的倍数,就能最后获胜。
     这个游戏还可以有一种变相的玩法:两个人轮流报数,每次至少报一个,最多报十个,谁能报到100者胜。
(二)威佐夫博奕(Wythoff Game):有两堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。
     这种情况下是颇为复杂的。我们用(ak,bk)(ak ≤ bk ,k=0,1,2,...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势,如果甲面对(0,0),那么甲已经输了,这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是:(0,0)、(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10)、(8,13)、(9,15)、(11,18)、(12,20)。
     可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k,奇异局势有如下三条性质:
     1。任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
     由于ak是未在前面出现过的最小自然数,所以有ak > ak-1 ,而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性质1。成立。
     2。任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
     事实上,若只改变奇异局势(ak,bk)的某一个分量,那么另一个分量不可能在其他奇异局势中,所以必然是非奇异局势。如果使(ak,bk)的两个分量同时减少,则由于其差不变,且不可能是其他奇异局势的差,因此也是非奇异局势。
     3。采用适当的方法,可以将非奇异局势变为奇异局势。
     假设面对的局势是(a,b),若 b = a,则同时从两堆中取走 a 个物体,就变为了奇异局势(0,0);如果a = ak ,b > bk,那么,取走b   - bk个物体,即变为奇异局势;如果 a = ak ,   b < bk ,则同时从两堆中拿走 ak - ab - ak个物体,变为奇异局势( ab - ak , ab - ak+ b - ak);如果a > ak ,b= ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a - ak 即可;如果a < ak ,b= ak + k,分两种情况,第一种,a=aj (j < k),从第二堆里面拿走 b - bj 即可;第二种,a=bj (j < k),从第二堆里面拿走 b - aj 即可。
     从如上性质可知,两个人如果都采用正确操作,那么面对非奇异局势,先拿者必胜;反之,则后拿者取胜。
     那么任给一个局势(a,b),怎样判断它是不是奇异局势呢?我们有如下公式:
     ak =[k(1+√5)/2],bk= ak + k   (k=0,1,2,...,n 方括号表示取整函数)奇妙的是其中出现了黄金分割数(1+√5)/2 = 1。618...,因此,由ak,bk组成的矩形近似为黄金矩形,由于2/(1+√5)=(√5-1)/2,可以先求出j=[a(√5-1)/2],若a=[j(1+√5)/2],那么a = aj,bj = aj + j,若不等于,那么a = aj+1,bj+1 = aj+1+ j + 1,若都不是,那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行,一定会遇到奇异
局势。
(三)尼姆博奕(Nimm Game):有三堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆取任意多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。
     这种情况最有意思,它与二进制有密切关系,我们用(a,b,c)表示某种局势,首先(0,0,0)显然是奇异局势,无论谁面对奇异局势,都必然失败。第二种奇异局势是(0,n,n),只要与对手拿走一样多的物品,最后都将导致(0,0,0)。仔细分析一下,(1,2,3)也是奇异局势,无论对手如何拿,接下来都可以变为(0,n,n)的情形。
     计算机算法里面有一种叫做按位模2加,也叫做异或的运算,我们用符号(+)表示这种运算。这种运算和一般加法不同的一点是1+1=0。先看(1,2,3)的按位模2加的结果:
1 =二进制01
2 =二进制10
3 =二进制11 (+)
———————
0 =二进制00 (注意不进位)
     对于奇异局势(0,n,n)也一样,结果也是0。
     任何奇异局势(a,b,c)都有a(+)b(+)c =0。
如果我们面对的是一个非奇异局势(a,b,c),要如何变为奇异局势呢?假设 a < b< c,我们只要将 c 变为 a(+)b,即可,因为有如下的运算结果: a(+)b(+)(a(+)b)=(a(+)a)(+)(b(+)b)=0(+)0=0。要将c 变为a(+)b,只要从 c中减去 c-(a(+)b)即可。
     例1。(14,21,39),14(+)21=27,39-27=12,所以从39中拿走12个物体即可达到奇异局势(14,21,27)。
     例2。(55,81,121),55(+)81=102,121-102=19,所以从121中拿走19个物品就形成了奇异局势(55,81,102)。
     例3。(29,45,58),29(+)45=48,58-48=10,从58中拿走10个,变为(29,45,48)。
     例4。我们来实际进行一盘比赛看看:
         甲:(7,8,9)->(1,8,9)奇异局势
         乙:(1,8,9)->(1,8,4)
         甲:(1,8,4)->(1,5,4)奇异局势
         乙:(1,5,4)->(1,4,4)
         甲:(1,4,4)->(0,4,4)奇异局势
         乙:(0,4,4)->(0,4,2)
         甲:(0.4,2)->(0,2,2)奇异局势
         乙:(0,2,2)->(0,2,1)
         甲:(0,2,1)->(0,1,1)奇异局势
         乙:(0,1,1)->(0,1,0)
         甲:(0,1,0)->(0,0,0)奇异局势

甲胜。

 

 

 

火柴遊戲,亦可用牙籤來代替火柴玩遊戲。
一個最普通的火柴遊戲就是兩人一起玩,先置若干支火柴於桌上,兩人輪流取,每次所取
的數目可先作一些限制,規定取走最後一根火柴者獲勝。
規則一:若限制每次所取的火柴數目最少一根,最多三根,則如何玩才可致勝?
例如:桌面上有n=15根火柴,甲﹑乙兩人輪流取,甲先取,則甲應如何取才能致勝?
為了要取得最後一根,甲必須最後留下零根火柴給乙,故在最後一步之前的輪取中,甲不
能留下1根或2根或3根,否則乙就可以全部取走而獲勝。如果留下4根,則乙不能全取,則
不管乙取幾根(1或2或3),甲必能取得所有剩下的火柴而贏了遊戲。同理,若桌上留有8
根火柴讓乙去取,則無論乙如何取,甲都可使這一次輪取後留下4根火柴,最後也一定是甲
獲勝。由上之分析可知,甲只要使得桌面上的火柴數為4﹑8﹑12﹑16…等讓乙去取,則甲
必穩操勝券。因此若原先桌面上的火柴數為15,則甲應取3根。(∵15-3=12)若原先桌面
上的火柴數為18呢?則甲應先取2根(∵18-2=16)。
規則二:限制每次所取的火柴數目為1至4根,則又如何致勝?
原則:若甲先取,則甲每次取時,須留5的倍數的火柴給乙去取。
通則:有n支火柴,每次可取1至k支,則甲每次取後所留的火柴數目必須為k+1之倍數。

 

規則三:限制每次所取的火柴數目不是連續的數,而是一些不連續的數,如1﹑3﹑7,則又
該如何玩法?
分析:1﹑3﹑7均為奇數,由於目標為0,而0為偶數,所以先取者甲,須使桌上的火柴數為
偶數,因為乙在偶數的火柴數中,不可能再取去1﹑3﹑7根火柴後獲得0,但假使如此也不
能保證甲必贏,因為甲對於火柴數的奇或偶,也是無法依照己意來控制的。因為〔偶-奇=
奇,奇-奇=偶〕,所以每次取後,桌上的火柴數奇偶相反。若開始時是奇數,如17,甲先
取,則不論甲取多少(1或3或7),剩下的便是偶數,乙隨後又把偶數變成奇數,甲又把奇
數回覆到偶數,最後甲是注定為贏家;反之,若開始時為偶數,則甲注定會輸。
通則:開局是奇數,先取者必勝;反之,若開局為偶數,則先取者會輸。
規則四:限制每次所取的火柴數是1或4(一個奇數,一個偶數)。
分析:如前規則二,若甲先取,則甲每次取時留5的倍數的火柴給乙去取,則甲必勝。此外
,若甲留給乙取的火柴數為5之倍數加2時,甲也可贏得遊戲,因為玩的時候可以控制每輪
所取的火柴數為5(若乙取1,甲則取4;若乙取4,則甲取1),最後剩下2根,那時乙只能
取1,甲便可取得最後一根而獲勝。
通則:若甲先取,則甲每次取時所留火柴數為5之倍數或5的倍數加2。
 
遊戲規則:
有一堆火柴兩人輪流取,先取的一方可任意取,後取的一方所取的火柴桿數不得超過對方
剛取火柴的2倍,規定取得最後一根者為勝。
設火柴數為n,甲先取,乙後取
當n=3:
若甲取1根剩2根,則乙全取──乙勝。

 

若甲取2根剩1根,則乙取最後1根──乙勝。

 

當n=5:
若甲取1根剩4根,則乙取1根剩3根換甲取,則乙必勝(如上n=3)。

 

若甲取2根剩3根,則乙全取──乙勝。

 

當n=8:
若甲取1根剩7根,則乙取2根剩5根讓甲取,則甲不利(如上n=5)──乙勝。

 

若甲取2根剩6根,則乙取1根剩5根如上,則對甲不利──乙勝。

 

若甲取3根剩5根,則乙可全取──乙勝。

 

若甲先取3根以上,情況如上──乙勝。

 

當n=13:
若甲取1根剩12根,則乙取1根剩11根,則

 

若甲接著取1根剩10根,則乙再取2根剩8根,對甲不利(如上)──故乙勝。
若甲接著取2根剩9根,則乙再取1根剩8根,對甲也不利(如上)──故乙勝。
(註:甲不得接著取超過2根,因為上一次乙取1根。)

 

若甲取2根剩11根,則乙取3根剩8根,對甲不利──乙勝。

 

若甲取3根剩10根,則乙取2根剩8根,情況對甲不利──乙勝。

 

若甲取4根剩9根,則乙取1根剩8根,同樣對甲不利──乙勝。

 

若甲取5根剩8根,則乙可全取──乙勝。

 

若甲取5根以上,情況如上──乙勝。

 

由以上的例子中我們可觀察到,當火柴數為3﹑5﹑8﹑13…等時,對先取者不利。又從上面
例子,當n=13時,發現當火柴數為12時,先取者只要是取1根,必能立於不敗之地。
事實上,此遊戲與著名的斐波南契數列有關,斐波南契數列係由13世紀初,義大利比薩的
數學家Leonardo Pisano(1170~1250)所提出,因其綽號為Fibonacci,故以其名之。斐
波南契在一本叫做算盤書(研究算術代數的書籍)中提出一個有趣的兔子問題:
Q:假設最先有一對兔子,二個月後就能生育一對兔子,初生的兔子二個月後便具有生殖能
力,假設每對成熟具有生殖能力的兔子,每個月均能生育一對兔子,問一年後共有多少對
兔子?(如假設兔子都不死)
假設Xn表n個月後兔子的對數,則X0=1,X1=1,X2=2,X3=3,X4=5,X5=8 且Xn+2=Xn+1+Xn
,n 30,故一年後(即12個月後)共有X12=233

 

你可能感兴趣的:(ACM)