BP算法双向传，链式求导最缠绵（深度学习入门系列之八）
摘要： 说到BP(Back Propagation)算法，人们通常强调的是反向传播，其实它是一个双向算法：正向传播输入信号，反向传播误差信息。接下来，你将看到的，可能是史上最为通俗易懂的BP图文讲解，不信？来瞅瞅并吐吐槽呗！
更多深度文章，请关注：https://yq.aliyun.com/cloud
系列文章：
一入侯门“深”似海，深度学习深几许（深度学习入门系列之一）
人工“碳”索意犹尽，智能“硅”来未可知（深度学习入门系列之二）
神经网络不胜语，M-P模型似可寻（深度学习入门系列之三）
“机器学习”三重门，“中庸之道”趋若人（深度学习入门系列之四）
Hello World感知机，懂你我心才安息 (深度学习入门系列之五)
损失函数减肥用，神经网络调权重（深度学习入门系列之六）
山重水复疑无路，最快下降问梯度（深度学习入门系列之七)
8.1 BP神经网络极简史
在神经网络（甚至深度学习）参数训练中，BP(Back Propagation)算法非常重要，它都占据举足轻重的地位。在提及BP算法时，我们常将它与杰弗里•辛顿（Geoffrey Hinton）的名字联系在一起。但实际上，辛顿还真不是第一个提出BP算法的人，就像爱迪生不是第一个发明电灯的人一样。但人们记住的，永远都是那个让电灯“飞入平常百姓家”的功勋人物爱迪生，而不是它的第一发明人美国人亨利·戈培尔(Henry Goebel)。
如果说辛顿就是BP算法的“爱迪生”，那谁是BP算法的“戈培尔”呢？他就是保罗·沃伯斯（Paul Werbos）。1974年，沃伯斯在哈佛大学博士毕业。在他的博士论文里，首次提出了通过误差的反向传播来训练人工神经网络[1]。事实上，这位沃伯斯不光是BP算法的开创者，他还是循环神经网络（Recurrent Neural Network，RNN）的早期开拓者之一。在后期的系列入门文章中，我们还会详细介绍RNN，这里暂且不表。
说到BP算法，我们通常强调的是反向传播，但其实呢，它是一个典型的双向算法。更确切来说，它的工作流程是分两大步走：（1）正向传播输入信号，输出分类信息（对于有监督学习而言，基本上都可归属于分类算法）；（2）反向传播误差信息，调整全网权值（通过微调网络参数，让下一轮的输出更加准确）。
下面我们分别举例，说明这两个流程。为了简化问题描述，我们使用如图8-1所示的最朴素三层神经网络。在这个网络中，假设输入层的信号向量是[1, -1]，输出层的目标向量为[1, 0]，“学习率”η为0.1，权值是随机给的，这里为了演示方便，分别给予或“1”或“-1”的值。下面我们就详细看看BP算法是如何运作的？
图8-1 简易的三层神经网络
8.2.1正向传播信息
正向传播信息，简单说来，就是把信号通过激活函数的加工，一层一层的向前“蔓延”，直到抵达输出层。在这里，假设神经元内部的激活函数为Sigmod（f(x)=frac11+e−xf(x)=frac11+e−x）。之所以选用这个激活函数，主要因为它的求导形式非常简洁而优美：
事实上，类似于感知机，每一个神经元的功能都可细分两大部分：（1）汇集各路链接带来的加权信息；（2）加权信息在激活函数的“加工”下，神经元给出相应的输出，如图8-2所示。
图8-2 单个神经元的两部分功能
于是，在正向传播过程中，对于f1(e)f1(e)神经元的更新如图8-3所示，其计算过程如下所示：
图8-3 神经元信息前向更新神经元1的f1(e)
接着，在同一层更新 f2(e)f2(e)的值，过程和计算步骤类似于 f1(e)f1(e)，如图8-4所示：
图8-4 神经元信息前向更新神经元2的f2(e)
接下来，信息正向传播到下一层（即输出层），更新神经元3的f3(e)f3(e)（即输出y1y1的值），如图8-5所示。
图8-5 神经元信息前向更新神经元3的f3(e)
然后，类似地，计算同在输出层求神经元 f4(e)f4(e)（即输出 y2y2）的值，如图8-6所示。
图8-6神经元信息前向更新f4(e)
到此，在第一轮信号前向传播中，实际输出向量已计算得到 y′=[0.65,0.59]Ty′=[0.65,0.59]T，但我们预期输出的向量（即教师信号）是 y=[1,0]Ty=[1,0]T，这二者之间是存在“误差”的。于是，重点来了，下面我们就用“误差”信息反向传播，来逐层调整网络参数。为了提高权值更新效率，这里就要用到下文即将提到的“反向模式微分法则（chain rule）”。
8.2.2 求导中的链式法则
（砰！砰！砰！敲黑板！请注意：如下部分是BP算法最为精妙之处，值得细细品味！）
在前面信号正向传播的示例中，为了方便读者理解，我们把所有的权值都暂时给予了确定之值。而实际上，这些值都是可以调整的，也就是说其实它们都是变量，除掉图8-1中的所有确定的权值，把其视为变量，得就到更为一般化的神经网络示意图8-7。
图8-7 带权重变量的神经网络
这里为了简化理解，我们暂时假设神经元没有激活函数（或称激活函数为y=xy=x），于是对于隐含层神经元，它的输出可分别表示为：
然后，对于输出层神经元有：
于是，损失函数LL可表示为公式（8.2）：
这里YY为预期输出值向量(由y1,y2,...,yi,...y1,y2,...,yi,...等元素构成)，实际输出向量为fi(w11,w12,...,wij,...,wmn)fi(w11,w12,...,wij,...,wmn)。对于有监督学习而言，在特定训练集合下，输入元素xixi和预期输出yiyi都可视为常量。由此可以看到，损失函数LL，在本质上，就是一个单纯与权值wijwij相关的函数（即使把原本的激活函数作用加上去，除了使得损失函数的形式表现得更加复杂外，并不影响这个结论）。
于是，损失函数LL梯度向量可表示为公式（8.3）：
其中，这里的eijeij是正交单位向量。为了求出这个梯度，需要求出损失函数LL对每一个权值wijwij的偏导数。
BP算法之所以经典，部分原因在于，它是求解这类“层层累进”的复合函数偏导数的利器。为啥这么说呢？下面，我们就列举一个更为简化但不失一般性的例子来说明这个观点（以下案例参考了Chris Olah的博客文章[3]）。
假设有如下一个三层但仅仅包括aa、bb、cc、dd和ee等5个神经元的网络，在传递过程中，cc、dd和ee神经元对输入信号做了简单的加工，如图8-8所示。
图8-8 简易的神经网络
假设变量aa影响cc，此时我们想弄清楚aa是如何影响cc的。于是我们考虑这么一个问题，如果aa变化一点点，那么cc是如何变化的呢？我们把这种影响关系定义为变量cc相对于变量aa的偏导数，记做fracpartialcpartialafracpartialcpartiala。
利用高等数学的知识，我们很容易求得，对于直接相连的神经元（如aa对cc，或bb对dd），可利用“加法规则”或“乘法规则”直接求出。例如，利用加法规则，fracpartialcpartialafracpartialcpartiala可表示为：
而对于表达式为乘法的求偏导规则为：
那么，对于间接相连的神经元，比如aa对ee，如果我们也想知道aa变化一点点时ee变化多少，怎么办呢？也就是说，偏导数fracpartialepartialafracpartialepartiala该如何求呢？这时，我们就需要用到链式法则了。
这里假设a=2a=2，b=1b=1。如果aa的变化速率是1，那么cc的变化速率也是1（因为fracpartialcpartiala=1fracpartialcpartiala=1)。类似地，如果cc的变化速率为1，那么ee的变化速率为2（因为fracpartialepartialc=d=2fracpartialepartialc=d=2）。所以相对于aa变化1，ee的变化为1times2=21times2=2。这个过程就是我们常说的“链式法则”，其更为形式化的表达为（如图8-9所示）：
图8-9 链式法则示意图
aa对ee的“影响”属于单路径的影响，还比较容易求得，但这并不是我们关注的重点。因为在神经网络中，神经元对神经元的连接，阡陌纵横，其影响也是通过多条路径“交织”在一起的。在图8-9中，我们研究一下bb对ee的影响，就能比较好理解这一工作机理。显然，bb对ee的影响，也可表达为一个偏导关系：
从图8-9可以看出，bb对ee影响，其实是“兵分两路”：（1）bb通过影响cc，然后通过cc影响ee；（2）bb通过影响dd，然后通过dd影响ee。这就是多维变量（这里“多”仅为2）链式法则的“路径加和”原则。
这个原则，看起来简单明了，但其实蕴藏着巨大代价。因为当网络结构庞大时，这样的“路径加和”原则，很容易产生组合爆炸问题。例如，在如图8-10所示的有向图中，如果XX到YY有三条路径（即XX分别以alphaalpha、betabeta和chichi的比率影响YY），YY到ZZ也有三条路径（YY分别以deltadelta、varepsilonvarepsilon和xixi的比率影响ZZ）。
图8-10 路径加和规则演示
于是，很容易根据路径加和原则得到XX对ZZ的偏导数：
上面用到的求偏导数方法，可称之为“前向模式微分（forward-mode differentiation）”，如图8-11-（a）所示。当网络结构简单时，即使XX到ZZ的每一个路径都被“临幸（遍历）”一遍，总共才有 3times3=93times3=9 条路径，但一旦网络结构的复杂度上去了，这种“前向模式微分”，就会让求偏导数的次数和神经元个数的平方成正比。这个计算量，就很可能是成为机器“难以承受的计算之重”。
有道是“东方不亮西方亮”。为了避免这种海量求导模式，数学家们另辟蹊径，提出了一种称之为“反向模式微分（reverse-mode differentiation）”。取代公式（8.4）的那种简易的表达方式，我们用公式（8.5）的表达方式来求XX对ZZ的偏导：
或许你会不屑一顾，这又是在搞什么鬼？把公式（8.4）恒等变换为公式（8.5）又有什么用呢？
图8-11 前向与反向微分方法对比
你可别急，这背后大有玄机，且听我慢慢道来。
前文提到的前向模式微分方法，其实就是我们在高数课堂上学习的求导方式。在这种求导模式中，强调的是某一个输入（比如XX）对某一个节点（如神经元）的影响。因此，在求导过程中，偏导数的分子部分，总是根据不同的节点总是不断变化，而分母则锁定为偏导变量“∂X∂X”，保持定不变（见图8-11-(a)）。
相比而言，反向模式微分方法则有很大不同。首先在求导方向上，它是从输出端（output）到输入端进行逐层求导。其次，在求导方法上，它不再是对每一条“路径”加权相乘然后求和，而是针对节点采纳“合并同类路径”和“分阶段求解”的策略。
拿8-11-(b)的例子来说，先求YY节点对ZZ节点的"总影响"（反向第一层）：
然后，再求节点XX对节点ZZ的总影响（反向第二层）：
特别需要注意的是，fracpartialrmZpartialYfracpartialrmZpartialY已经在第一层求导得到。在第二层仅仅需要求得fracpartialrmYpartialXfracpartialrmYpartialX，而fracpartialrmYpartialXfracpartialrmYpartialX 容易求得(alpha+beta+chi)(alpha+beta+chi),然后二者相乘即可得到所求。这样一来，就大大减轻了第二层的求导负担。在求导形式上，偏导数的分子部分（节点）不变，而分母部分总是随着节点不同而变化，即[fracpartialZpartial][fracpartialZpartial]。
这样说来说去，好像还是不太明白！下面我们还是用图8-9所示的原始例子，对比二者的求导过程，一遍走下来，有了感性认识，你就能明白其中的差异。为了进一步方便读者理解，我们将图8-9重新绘制为图8-12的样子。
图8-12 前向模式微分方法
以求变量bb偏导数的流程为例，我们先用前向模式微分法，来说明这种方法的求导过程。根据加法规则，对于求偏导值fracpartialepartialbfracpartialepartialb的步骤可以分两步走：（1）求得所有输入（包括aa和bb）到终点ee的每条路径上的偏导值乘积；（2）对所有条路径的导数值进行加和操作。
从8-12所示的图中，对于两个输入aa和bb，它们共有3条路径抵达终点ee（分别计为①、②和③）。
对于第①条路径而言，输入bb对ee的影响为：
对于第②条路径而言，输入bb对ee的影响为：
对于第③条路径而言，输入bb对ee的影响为：
所以在整体上，输入bb从三条路径上对e施加的“总影响”为：0+2+3=5.
或许读者已经注意到了，有些路径已经被冗余遍历了，比如在图8-12所示中，atoctoeatoctoe（第①条路）和btoctoebtoctoe（第②条路）就都走了路径ctoectoe。
这些局部性的冗余也就罢了，更为“恶劣”的是，对于求fracpartialepartialafracpartialepartiala，上述三条路径，它们同样还得“一个都不能少”地跑一遍，如果求得的变量多了，这到底得有多少冗余啊！
可能你会疑问，对于fracpartialepartialbfracpartialepartialb（fracpartialepartialafracpartialepartiala），第①（③）条路径明明可以不走的嘛？这种明智，是对人的观察而言的，而且是对于简单网络而言的。因为，如果网络及其复杂，人们可能就没有这么“慧眼识珠”，识别其中的路径冗余。
此外，对于计算机而言，有些时候，局部操作的“优化”，相对于整体操作的“规范化”，顶多算得上“奇淫巧技”，其优势可谓是“荡然无存”。有过大规模并行编程经验的读者，可能对这个观点会有更深的认知。
然而，同样是利用链式法则，反向模式微分方法就能非常机智地避开了这种冗余（下面即将讲到的BP算法，正是由于这么干，才有其优势的）。在这种方法中，它能做到对每一条路径只“临幸”一次，这是何等的节俭！下面我们来看看它是如何工作的。
图8-13反向模式微分方法
相比于“前向模式微分法”是以输入（如图8-13-(a)所示的aa和bb）为锚点，正向遍历每一条可能的路径。反向模式微分法是以节点（或说神经元，如图8-13-(a)所示的ee、cc和dd）为锚点，逐层分阶段求导，然后汇集每一个节点的外部路径（合并同类路径）。
如图8-13-(b)所示，在反向求导的第1层，对于节点cc有：
类似的，对于节点dd有：
在阶段性的求解完毕第一层的导数之后，下面开始求解第二层神经元变量的偏导。如图8-13-(c)所示，在反向第2层，对于节点aa有如图8-14-(Ⅰ)所示的求导模式。
图8-14反向模式微分方法的推演
特别需要注意的是，8-14-(Ⅰ)所示的表达式“fracpartialepartialcfracpartialcpartialafracpartialepartialcfracpartialcpartiala”中左部“fracpartialepartialcfracpartialepartialc”，已经在第1层求解过了，并“存储”在神经元cc中。此时，采用“拿来主义”，拿来就能用！这就是反向模式微分的精华所在！
类似地，在反向求导第2层，对于节点bb，由于它汇集“两路兵马”的影响，所以需要合并同类路径，有如图8-14-(Ⅱ)所示结果。
这样一来，如图8-13反向模式微分方法，每个路径仅仅遍历一次，就可以求得所有输出（如ee节点）对输入（如aa或bb节点）的偏导，干净利落，没有任何冗余！
在第七章中，我们曾提到，“BP算法把网络权值纠错的运算量,从原来的与神经元数目的平方成正比，下降到只和神经元数目本身成正比。”其功劳，正是得益于这个反向模式微分方法节省的计算冗余
8.2.3 误差反向传播
有了前面“链式求导”的知识铺垫，下面我们就来细细讲解误差反向传播的过程。鉴于我们的系列文章是写给初学者（实践者）看的，下面我们尽量省略了其中较为复杂的推导公式，对该部分感兴趣的读者可参阅卡内基梅隆大学Tom Mitchell教授的经典著作《机器学习》[3]（对公式不感冒的读者，第一遍阅读可以直接跳过公式，直达图文解释部分）。
误差反向传播通过梯度下降算法，迭代处理训练集合中的样例，一次处理一个样例。对于样例dd，如果它的预期输出（即教师信号）和实际输出有“误差”，BP算法抓住这个误差信号LdLd，以“梯度递减”的模式修改权值。也就是说，对于每个训练样例dd，权值wjiwji的校正幅度为DeltawjiDeltawji（需要说明的是，wjiwji和wijwij其实都是同一个权值，wjiwji表示的是神经元jj的第ii个输入相关的权值，这里之所以把下标“jj”置于“ii”之前，仅仅表示这是一个反向更新过程而已）：
在这里，LdLd表示的是训练集合中样例dd的误差，分解到输出层的所有输出向量，LdLd可表示为：
其中：
yjyj表示的是第jj个神经单元的预期输出值。
y′jyj′表示的jj个神经单元的实际输出值。
outputsoutputs的范围是网络最后一层的神经元集合。
下面我们推导出fracpartialLdpartialwjifracpartialLdpartialwji的一个表达式，以便在公式（8.7）中使用梯度下降规则。首先，我们注意到，权值wjiwji仅仅能通过netjnetj影响其他相连的神经元。因此利用链式法则有：
在这里，netj=sumnolimitsiwjixjinetj=sumnolimitsiwjixji，也就是神经元jj输入的加权和。xjixji表示的神经jj的第ii个输入。需要注意的是，这里的xjixji是个统称，实际上，在反向传播过程中，在经历输出层、隐含层和输入层时，它的标记可能有所不同。
由于在输出层和隐含层的神经元对“纠偏”工作，承担的“责任”是不同的，至少是形式不同，所以需要我们分别给出推导。
（1）在输出层，对第ii个神经元而言，省略部分推导过程，公式（8.8）的左侧第一项为：
为了方便表达，我们用该神经元的纠偏“责任（responsibility）”delta(1)jdeltaj(1)描述这个偏导，即：
这里delta(1)jdeltaj(1)的上标“(1)”，表示的是第1类（即输出层）神经元的责任。如果上标为“(2)”，则表示第2类（即隐含层）神经元的责任，见下面的描述。
（2）对隐含层神经元jj的梯度法则（省略了部分推导过程），有：
其中：
fjfj表示神经单元jj的计算输出。
netjnetj表示的是神经单元jj的加权之和。
Downstream(j)Downstream(j)表示的是在网络中神经单元jj的直接下游单元集合。
隐含层神经元的纠差职责，是通过计算前一步输出神经元的“责任”来实现的。
这里说的每层神经元“责任”，或者更为确切来说是“纠偏责任”，其实就是在8.2.2节讲到的“分阶段求解”策略。
在明确了各个神经元“纠偏”的职责之后，下面就可以依据类似于感知机学习，通过如下加法法则更新权值：
对于输出层神经元有：
对于隐含层神经元有：
在这里，etain(0,1)etain(0,1)表示学习率。在实际操作过程中，为了防止错过极值，etaeta通常取小于0.1的值。hjhj为神经元j的输出。xjkxjk表示的是神经单元jj的第kk个输入。
上面的公式依然比较抽象，难以理解。下面我们还是以前面的神经网络拓扑结构为例，用实际运算过程给予详细说明，以期望给与读者感性认识。
从上面的描述可以得知，针对输出层的神经元3，它的输出值y′1y1′为0.65，而期望输出值y1y1为1，二者存在“误差”：e1=y1−y′1=1−0.65=0.35e1=y1−y1′=1−0.65=0.35。
在这里，我们把每个神经元根据误差调参的“责任”记为deltadelta，那么，根据公式（8.9）和（8.10），神经元3的“责任”可表示为：
图8-15 误差反向传播计算神经元3的“责任”
从上面分析可知，我们很容易计算出delta(1)3delta3(1)的值：
于是，可以反向更新w(1)31w31(1)的权值为：
在这里，
（具体推导见公式8.8-8.10），etaeta为学习率，此处取值为0.1。f1f1为神经元1的输出（即y′1y1′）。
类似地，我们可以反向更新w(1)32w32(1)）的权值：