数理统计与概率论及Python实现——概率论中基本概念
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作者：Keivan Chan
来源：97年陈伯伯
其实从中学就开始学习统计学了，画直方图，求平均值，找中位数等；大学也集中学过概率论和数理统计；
到了工作中，统计作为数据科学的基础，想要从事这方面的工作，这始终是一个绕不过去的槛；
这次主要写连载，一是主要为了巩固数理统计的知识，二也是尝试用简单易懂系统的文字向感兴趣的朋友介绍相关内容；
导读：
基础中的基础
随机事件试验与样本空间：
频率与概率
基础中的基础
在所有可观察的现象中，可以从大的方面分为两类——必然现象和随机现象。
物理学中各种定律描述的基本上都是必然现象，比如物体会因为重力而从高处下落，某一时刻地球位于太阳系中的位置。这些现象的发生都是确定无疑的，如果我们完全认识了它们的内在规律，那么在发生之前就是可以完全准确的预测出结果。
但是还有一类现象是不确定的。它的不确定性表现在，事先无法准确的预测其结果。唯一可以获得这类现象的结果的办法是等到它们发生之后。最典型的例子就是抛硬币。抛一枚均匀的硬币之前，已知结果只有正面和反面两种，但是无法知道到底会是哪一面。比如说，跟喜欢的人表白；明天是否会下雨等。可以看到，这些现象单次发生的时候，是毫无规律可循的。
也正是有了这两种现象，才让这个世界既可以被认识，又不至于完全可以被预测。
但当我们在相同的条件下，大量重复（如果可以的话）做某件不确定的事，然后统计实验结果，就有可能发现某种规律。还是拿抛硬币来举例，每次抛硬币都不知道会得到正面还是反面，但如果有耐心将一枚均匀的硬币抛20,000次（已经有多位著名的统计学家这么做过了），然后统计一下正反面分别出现了多少次，就可以发现它们差不多都是10,000次，也就是差不多各占50%。上面的抛硬币的例子中，随机现象（抛硬币）在相同的条件下，大量重复试验中呈现的规律性就叫做统计规律性。
《概率论与数量统计》就是研究随机现象的统计规律的一门学科。
概率论研究的是随机现象的模型（即概率分布）；
数理统计是研究随机现象的数据收集和处理；即包括数据的收集、整理、分析和建模，从而对随机现象的某些规律进行预测或决策。
怎么学习概率论与数量统计：
学思想：如何看待和处理随机规律性；
学方法：建立统计模型；
学应用：模型的实际应用，也可以自己收集、寻找各种实例；
学软件：掌握统计软件的使用和结果分析。
随机事件试验与样本空间：
随机事件：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象成为随机现象，三个特点：
可以在相同条件下重复进行；
事先知道所有可能出现的结果；
进行试验前不知道哪个试验结果会发生。
随机实验：对在相同条件下可以重复的随机现象的观测、记录、实验称为随机实验；例如常出现的掷骰子，摸球，射击，抛硬币等。
样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，一般即为S（大写的S）；S中的元素e称为样本点；
将样本点的个数为有限个或可列个的情况归为一类，称为离散样本空间；
将样本点的个数为不可列个的情况归为一类，称为连续样本空间；
随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件；简称事件；即事件是样本空间的子集；
由样本空间单个元素组成的子集称为基本事件;
由样本空间最大子集构成的事件称为必然事件；
由样本空间最小自己（即空集）构成的事件称为不可能事件；
事件的相互关系：
事件的包含：A⊆B
事件的相等：A=B
事件的积（交）：A∩B，AB
互斥事件（互不相容事件）：不能同时出现
事件的和（并）：A∪B
事件的差：A-B，A发生，B不发生
对立事件（逆事件）：互斥，必需出现其中一个
事件的运算性质就是集合的性质
频率与概率
频率：
频率是0～1之间的一个实数，在大量重复试验的基础上给出了随机事件发生可能性的估计。
频率的稳定性：在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多摆动越小。这个性质叫做频率的稳定性。
概率：
概率的统计性定义：当试验次数增加时，随机事件A发生的频率的稳定值p就称为概率。记为P(A)=p
概率的公理化定义：设随机试验对于的样本空间为S。对每一个事件A，定义P(A)，满足：
非负性：P(A) ≥ 0；
规范性：P(S) = 1；
可列可加性：A1, A2, ...两两互斥，及AiAj = ∅, i≠j, 则P(∪Ai) = ∑P(Ai)
（看不懂的调过即可）（从统计学定义理解即可）
条件概率：
P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，相当于A在B中所占的比例。此时，样本空间从原来的完整样本空间S缩小到了B
由于有了条件的约束（事件B），使得原来的样本空间减小了。
图1：a.条件概率的样本空间；b.条件概率的计算公式
例：一个家庭中有两个小孩，已知至少一个是女孩，问两个都是女孩的概率是多少？
（假定生男生女是等可能的）
解：由题意，样本空间为
S = {(兄, 弟), (兄, 妹), (姐, 弟), (姐, 妹)}
B = {(兄, 妹), (姐, 弟), (姐, 妹)}
A = {(姐, 妹)}
由于事件B已经发生，所以这时试验的所有可能只有三种，而事件A包含的基本事件只占其中的一种，所以有：
P(A|B) = 1/3,
即在已知至少一个是女孩的情况下，两个都是女孩的概率为1/3。
在这个例子中，如果不知道事件B发生，则事件A发生的概率为P(A) = 1/4
这里P(A) ≠ P(A|B)，其原因在于事件B的发生改变了样本空间，使它由原来的S缩减为新的样本空间SB = B。
今天就这样，白了个白~
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