夜深人静写算法（十九）- 背包总览

一、前言

  本文将对所有背包问题进行一个总结，也是为了致敬 《背包九讲》这部神作。
  也有读者和我说自己觉得动态规划实在是太难了，就算能够想到状态表示，也不一定能够推出状态转移方程，就算模糊的有状态转移方程的概念，写的时候一些枚举顺序、初始化什么的也总是会出错，作者也有同感，所以想了一些容易理解的办法，在这篇文章中进行了一个归纳和总结。
  总结是一个好习惯，经常做总结的人，运气一定不会太差，每次总结都能够从中学到新的东西，从历史中吸取教训，作为后人的借鉴，于人于己，都是有百利而无一害的！

二、背包问题概览

• 本文主要是对几大类背包问题进行一个总结和回顾，然后对常见问题进行归纳和分析，关于状态转移方程都是一笔带过的，如果想知道详细的推导过程，可以翻看下面链接给出的前置章节。

1、技能点回顾

夜深人静写算法（十四）- 0 / 1背包 夜深人静写算法（十五）- 完全背包 夜深人静写算法（十六）- 多重背包 夜深人静写算法（十七）- 分组背包 夜深人静写算法（十八）- 依赖背包

图二-1-1

2、温故而知新

1）状态转移方程

• 每种背包问题的的状态转移方程如下，$opt$ 意为 $optimal$，即最优的：

【1】0 / 1背包

• 从 “前 $i-1$ 个物品的背包” 中，对第 $i$ 个物品进行 “不选” 与 “选” 两种决策：$$dp[i][j]=opt(dp[i-1][j],dp[i-1][j-c_i]+w_i)$$

【2】完全背包

• 从 “前 $i$ 种物品的背包” 中，对第 $i$ 种物品进行 “不选” 与 “选” 两种决策：$$dp[i][j]=opt(dp[i-1][j],dp[i][j-c_i]+w_i)$$

【3】多重背包

• 将物品进行二进制拆分后，采用 0/1 背包进行求解：$$dp[i][j]=opt(dp[i-1][j],dp[i-1][j-c_i]+w_i)$$

【4】分组背包 - 每组至多取一个

• 从 “前 $k-1$ 组物品的背包中”，对第 $k$ 组的每个物品进行 “不选” 与 “选” 两种决策： $$dp[k][j]=opt(dp[k-1][j],dp[k-1][j-c_i]+w_i),k=g_i$$

【5】分组背包 - 每组至少取一个

• 拆分成两部分理解：组间至少一个、组内 0/1 背包：$$dp[k][j]=opt(dp[k][j],dp[k-1][j-c_i]+w_i,dp[k][j-c_i]+w_i),k=g_i$$

【6】分组背包 - 每组正好取一个

• 从 “前 $k-1$ 组物品的背包中”，对第 $k$ 组的每个物品进行 “选” 一个的决策： $$dp[k][j]=opt(dp[k-1][j-c_i]+w_i),k=g_i$$

【7】依赖背包 - 主附件依赖

• 先做附件的 0/1 背包（选和不选），再做主件的 0/1 背包（选和不选）；

【8】依赖背包 - 树形依赖

• 计算每棵子树的背包，再把子树背包看成物品做分组背包：$$dp[u][i]=op{t}_{v\in son(u)}(dp[u][i],dp[u][i-j]+dp[v][j]+cos{t}_{uv})$$
• 思考 1：当 $j=0$ 时，这个状态转移方程的正确性如何？（下文会给出答案）

2）时间复杂度

• $n$ 代表物品总个数，$m$ 代表背包容量；

背包类型	时间复杂度
0 / 1 背包	$O(nm)$;
完全背包	$O(nm)$;
多重背包	$O(nmlo{g}_{2}m)$;
分组背包	$O(nm)$;
主附件依赖背包	$O(nm)$;
树形依赖背包	$O(n{m}^2)$;

• 多重背包还有一种用单调队列优化的办法，作者会在介绍单调队列的时候进行讲解；
• 对于分组背包，这里的 $n$ 代表的是所有组的物品个数总和；
• 了解时间复杂度的好处是：在问题给出的瞬间，就能大概确定这是个什么类型的问题，比如当 m 为 $10^9$ 量级的类似背包的问题就可以确定肯定不是动态规划，需要从搜索或者贪心方向去考虑；而对于树形的结构，并且数据范围都是百量级的，可以往树形依赖背包方向去思考。

3）空间复杂度

• $n$ 代表物品总个数，$m$ 代表背包容量；
• 注意：这里的空间复杂度代表的是求解过程需要用到的额外空间，不包含给定数据本身的空间；

背包类型	空间复杂度
0 / 1 背包	$O(m)$;
完全背包	$O(m)$;
多重背包	$O(m)$;
分组背包	$O(m)$;
主附件依赖背包	$O(m)$;
树形依赖背包	$O(nm)$;

• 0/1 背包 和 完全背包 通过 逆序 和 顺序 求解，将空间降成只和容量有关；
• 多重背包 二进制拆分 后利用 0/1 背包 逆序求解，将空间降成只和容量有关；
• 分组背包中的 至多一个 和 正好一个，都可以类似 0/1 的降维；至少一个的情况可以采用滚动数组降维；
• 主附件依赖 可以通过 滚动数组 进行降维；
• 树形依赖背包 采用的是和分组背包一致的降维方式，因为它本身也是个分组背包，只不过状态转移过程发生在树上；

三、混合背包问题

1、0/1、完全、多重背包混合

• 即 0/1 背包、完全背包、多重背包 三种类型的物品混合的情况；
• 比较偷懒的方法就是把所有物品都认为是多重背包的情况，然后采用二进制拆分，利用 0 / 1 背包求解；
  图三-1-1

2、不同分组背包之间混合

• 即 有些组最多取一个，有些组至少取一个，有些组正好取一个 的情况；
• 观察发现分组背包的状态转移都是发生在两组之间的，所以直接对每一组判断类型，然后按照对应的状态转移方程从上一组的背包进行转移即可；
  图三-2-1

四、通用问题概览

1、容量

1）如何确定容量

• 实际问题中，可能会遇到 价格、价值、体积、权值、重量 等名词，到底怎么和背包问题的 “容量” 和 “价值” 进行对应呢？
• 这个问题很好回答， 只要看数据的范围就基本能确定了，“容量” 是一定会映射到数组下标的，所以它的类型一定是整数；而 “价值” 可以是任意类型，而且 “容量” 的范围一般不会超过 $10^6$，再上去的话无论是时间复杂度还是空间复杂度都吃不消，当然不排除有人出一个极限题来恶心人。

【例题1】$n(n\le 100)$ 个物品，第 $i$ 个物品的价格为 $v_i(0\le v_i\le 10^8)$，价值为$p_i(p_i\le 100)$，问想要得到至少为 $m(m\le 10000)$ 价值的最少价格为多少？

• 这个问题中，“价值” 为背包的容量；

【例题2】$n(n\le 100)$ 个物品，第 $i$ 个物品的价格为 $v_i(0\le v_i\le 100)$，价值为$p_i(p_i\le 10^8)$，问想要用至少 $m(m\le 10000)$ 的价格，能够买到的最大价值为多少？

• 这个问题中，“价格” 为背包的容量；
  图四-1-1

2）物品容量为负数时怎么办

• 物品对应的容量为负数时，组合出的背包容量就会为负数；

【例题3】这个国家有 $n(n\le 100)$ 种货币。作者的第 $i$ 种货币有 $c_i(0\le c_i\le 100)$ 个，每个面值是 $w_i(0\le w_i\le 100)$。现在拿着这些货币去商城买东西，商城可以用现有货币进行找回（假设商城足够有钱），问能否买到价值正好为 $m$ 的商品。

• 这类问题可以采用一个正数偏移量对状态进行修正，使得映射到数组下标时恒为非负；这个问题是一个物品容量可以为负数的多重背包问题。需要注意的说是，对于容量为负数的物品，如果状态数组采用了降维的情况，那么枚举容量的时候，对 0/1 背包 需要顺序枚举，完全背包 则相反。例如，降维后的 0/1 背包的状态转移方程如下：$$dp[j]=opt(dp[j],dp[j-c_i]+w_i)$$
• 当 $c_i<0$ 时，状态转移相当于是从 大容量 $\to$ 小容量，如果逆序的话，就变成了完全背包，所以需要顺序求解；而完全背包则正好相反。
  图四-1-2

3）容量为零的分组背包

【例题4】有 $n(n\le 1000)$ 个物品和一个容量为 $m(m\le 1000)$ 的背包。这些物品被分成若干组，第 $i$ 个物品属于 $g[i]$ 组，容量是 $c[i](0\le c_i\le 100)$，价值是 $w_i(1\le w_i\le 100)$，现在需要选择一些物品放入背包，并且每组最多放一个物品，总容量不能超过背包容量，求能够达到的物品的最大总价值。

• 注意，这个问题中，物品容量有可能为 0。
• 对于每组最多取1个的分组背包来说，如果采用了降维，那么就要注意容量为 0 的情况，如下所示的状态转移方程：$$dp[j]=opt(dp[j],dp[j-c_i]+w_i),k=g_i$$
• 这个状态转移方程表示的是最多取一个的分组背包，并且采用了降维优化，如果 $c_i=0$，就会变成：$$dp[j]=opt(dp[j],dp[j]+w_i)$$
• 当 $opt=max$，且 $w_i>0$，若一个组里有 $x$ 个 容量为 0 的物品，这 $x$ 个物品都会被选进来，和要求相违，所以比较好的做法是采用滚动数组：$$dp[cur][j]=opt(dp[cur][j],dp[last][j-c_i]+w_i),k=g_i$$
• 这个问题回答了上文的 思考 1。
  图四-1-3

4）多维容量问题

• 有些问题中，容量可能是多个维度的，这时候只需要给状态数组加上一维即可。

【例题5】$n(n\le 100)$ 个物品，第 $i$ 个物品的重量为 $m_i$，体积为 $v_i$，权值为 $w_i$，现在要取一些物品，使得他们的重量不超过 $m$，体积不超过 $v$，求最大权值。

• 那么定义状态的时候可以定义：$$dp[i][j][k],i\in [0,n],j\in [0,m],k\in [0,v]$$
• 其中 $dp[i][j][k]$ 表示 “前 $i$ 个物品中选择一些物品，且重量为 $j$，体积为 $k$ 的最大权值”，初始化 $dp[0][0][0]=0$，状态转移同样为第 $i$ 个物品 “选” 或 “不选”，如下：$$dp[i][j][k]=opt(dp[i-1][j][k],dp[i-1][j-m_i][k-v_i]+w_i);$$
• 另外一种常用的问法是：

【例题6】$n(n\le 100)$ 个物品，第 $i$ 个物品的体积为 $v_i$，权值为 $w_i$，现在要取 $k$ 个物品，使得它们的体积不超过 $v$，求最大权值。

• 可以把这里的选择 $k$ 个当成是另外一个维度的容量，这个维度下，每个物品的容量为 1，这样就转换成了二维容量问题，一个容量是个数，一个容量是体积，同样可以转换成 $dp[i][j][k]$ 状态来求解。状态转移方程为：$$dp[i][j][k]=opt(dp[i-1][j][k],dp[i-1][j-1][k-v_i]+w_i);$$
• 和上面的状态转移方程的区别是 $m_i$ 替换成了 $1$。
  图四-1-4

2、状态转移

1）状态转移边界

• 在进行状态转移方程的推算时，可能会为了状态的边界问题伤透脑筋。
• 这里提供一个方法，进行状态转移的时候先不要去考虑边界问题，直接看这个状态是由哪些状态来的，然后写出来，再去观察状态转移方程，当发现有加减法导致数组下标越界的时候，这时候就把那个作为条件放在枚举的边界中，举个例子：$$dp[j]=opt(dp[j],dp[j-c_i]+w_i)$$
• 这个是 0 / 1 背包在降维后的状态转移方程，$i,j$ 保证都是大于等于零的，所以唯一会导致下标越界的地方就是：$j-c_i$，所以我们只要保证 $j-c_i\ge 0$ 恒成立就行。建议结合 物品容量为负数 的情况去思考。
  图四-2-1

2）状态初始值

• 状态初始值取决于你如何定义状态，一般有两种定义方法：
• 1）“恰好” 等于给定容量时的最优值；
• 2）小于等于给定容量时的最优值；
• 对于 $dp[i][m]$ 表示前 $i$ 个物品装满容量为 $m$ 的背包，我们需要进行初始化的状态为 $dp[0][0...m]$；
• 首先，无论是哪种问法，$dp[0][0]=0$，因为当一个物品都没有的时候，"恰好"等于 0 和 小于等于 0 的背包价值都是 0；
• 然后，对于 “恰好” 等于 的情况下，$dp[0][j](j>0)$ 应该是一个未定义的状态，可以用宏 $inf$ 表示；对于 小于等于 的情况，$dp[0][j]=0(j>0)$，因为一个物品都没有的时候，小于等于容量 $j$ 的最优价值就是 0。
  图四-2-2

3、滚动数组

• 滚动数组的含义其实是交换，但是叫 交换数组 ，容易引起歧义，而且听起来也很奇怪，感觉是个动词。但是这里的滚动数组其实是个名词，可以滚动的数组，而不是 让数组滚动起来！我去，莫名喜感！
• 滚动数组除了能用在背包问题中，其它动态规划问题也同样适用。
• 令 $dp[cur][...]$ 表示这一行的状态，$dp[last][...]$ 表示上一行的状态，$dp[cur][...]$ 的状态由 $dp[cur][...]$ 或者 $dp[last][...]$ 转移过来，可以写出通用状态转移方程如下：$$dp[cur][...]=opt(dp[cur][...],dp[last][...])$$
• 并且永远满足 $cur=1-last$，每次求完所有 $dp[cur][...]$ 状态，然后执行 swap(cur,last)进行下标交换就实现了状态的滚动。
  图四-3-1

4、求解问法

• 有些问题不是问的最优解，而是问组合出这种问题的方案数。
• 状态转移方程是不变的，比如：$$dp[i][j]=opt(dp[i-1][j],dp[i-1][j-c_i]+w_i)$$
• 如果求最大值，那么：$opt(x,y)=max(x,y)$
• 如果求最小值，那么：$opt(x,y)=min(x,y)$
• 如果求方案数，那么：$opt(x,y)=sum(x,y)$

5、路径回溯

• 有些问题需要输出问题的一个解，比如 0 / 1 背包问题，我们需要知道是取了哪些物品导致的最大值。

【例题7】$n(n\le 100)$ 个物品，第 $i$ 个物品的容量为 $c_i$，价值为 $w_i$，现在要选一些物品出来，求总容量不超过 $m(m\le 10000)$ 最大价值和。并且输出取了哪些物品，如果有多种方案，输出任意一种。

• 继续从 0 / 1 背包的状态转移方程出发：$$dp[i][j]=opt(dp[i-1][j],dp[i-1][j-c_i]+w_i)$$
• 我们把 $(i,j)$ 看成是二维空间上的格子，$(i,j)$ 要么从 $(i-1,j)$ 过来，要么从 $(i-1,j-c_i)$ 过来；
• 如图四-5-1所示，竖着的是物品轴，横着的是容量轴，红色方块是我们求得最大价值所在的容量位置，那么必然有一条从 (0,0) 到 红色格子 的唯一路径，而这条唯一路径可以利用状态转移的时候通过记录前驱来获得。
• 然后从红色结点逆序遍历前驱，当前结点和前驱结点容量不等，表明物品被选中了，直到回溯到 $(0,0)$。
  图四-5-1

6、$K$ 优解

【例题8】$n(n\le 100)$ 个物品，第 $i$ 个物品的容量为 $c_i$，价值为 $w_i$，现在要选一些物品出来，求总容量不超过 $m(m\le 10000)$ 的第 $K$ 大价值和 （要求第一大、第二大 … 第 $K$ 大的价值和单调递减）。

• 对于 $K$ 优解问题，如果对应的最优解问题能够写出状态转移方程，那么 $K$ 优解也可以用类似方法来求。
• 对于 0 / 1 背包来说，状态转移方程为：$$dp[i][j]=opt(dp[i-1][j],dp[i-1][j-c_i]+w_i)$$
• 我们可以把 $dp[i][j]$ 的定义修改一下，改成 “前 $i$ 个物品选择的总容量为 $j$ 的 $K$ 大权值和”， 那么 $dp[i][j]$ 可以理解为一个 $K$ 维 的向量，而 $opt$ 则是对两个 $K$ 维向量进行归并排序，并且取前 $K$ 大的值。
• 翻译成程序语言就是对状态再扩一维，用 $dp[i][j][k]$ 来表示 “前 $i$ 个物品选择的总容量为 $j$ 的 $k$ 大权值和”；
• 则状态转移方程变成：$$dp[i][j][...]=opt(dp[i-1][j][...],dp[i-1][j-c_i][...]+w_i)$$
• 我们知道，动态规划求最优解的时候，之所以能够求得最优解，是因为它遍历了所有可行方案，从中找到最优解，并且放弃了次优、$K$ 优解，所以我们可以把次优，$K$ 优解保留下来，从而通过状态转移求得下一个状态的次优，$K$ 优解。
• 举个例子，如图四-6-1，如果想要知道两个数组归并以后的 $K$ 大数（这里 $K=3$），那么对于任意一个数组，比第 $K$ 大的数小的那些数都是无用的，这个可以用贪心简单证明，也就说明了上述动态规划方程的正确性。
  图四-6-1

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• 关于 背包问题 的内容到这里就全部结束了。
• 如果还有不懂的问题，可以 想方设法 找到作者的微信进行在线咨询。

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五、背包问题相关题集推荐

• 给大家推荐一个比较好的在线评测系统，持续有人在维护，杭州电子科技大学的 OJ： acm.hdu.edu.cn
• 最后，推荐几个在这个 OJ 上比较典型的背包问题。

1、入门题

背包类型	入门题推荐
0/1背包	HDU 2955 Robberies
完全背包	HDU 1114 Piggy-Bank
多重背包	HDU 2844 Coins
分组背包	HDU 1712 ACboy needs your help
混合背包	HDU 3535 AreYouBusy
二维容量背包	HDU 2159 FATE
主附件依赖背包	HDU 3449 Consumer
树形依赖背包	HDU 4276 The Ghost Blows Light
负容量背包	HDU 2546 饭卡
求解方案数	HDU 2126 Buy the souvenirs
K 优解	HDU 2639 Bone Collector II;

2、进阶题

背包类型	进阶题推荐
0/1背包	HDU 3466 Proud Merchants
完全背包	HDU 5534 Partial Tree
多重背包	HDU 3591 The trouble of Xiaoqian
分组背包	HDU 3033 I love sneakers!
树形依赖背包	HDU 4044 GeoDefense
路径回溯	HDU 3092 Least common multiple
K 优解	HDU 3810 Magina
二维容量分组背包	HDU 6125 Free from square

• 背包问题到此就终结了，你学废了吗？

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• 本文所有示例代码均可在以下 github 上找到：github.com/WhereIsHeroFrom/Code_Templates

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