SSL1653 数字游戏

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原题链接

SSL1653 外网进不去

题目大意

给出一行数字$a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n$，然后给你$m$个回合的机会，每回合你可以从中选择一个数字擦去它，接着剩下来的每个数字$a_i$都要递减一个值$b_i$。如此重复$m$个回合，所有你擦去的数字之和就是你所得的分数，求你可以获得的最大的分数是多少。

输入格式

输入文件的第一行是一个整数$n$，表示数字个数。
第二行一个整数$m$，表示回合数。
接下来一行有$n$个数，$a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n$表示原始序列。
最后一行有$n$个不超过$500$的数，$b_1,b_2,b_3,\cdots ,b_n$，表示每回合每个数字递减的值。

输出格式

输出文件只有一个整数，表示最大的可能得分。

$\mathbf{S}\mathbf{a}\mathbf{m}\mathbf{p}\mathbf{l}\mathbf{e}$ $\mathbf{I}\mathbf{n}\mathbf{p}\mathbf{u}\mathbf{t}$

3
3
10 20 30
4 5 6

$\mathbf{S}\mathbf{a}\mathbf{m}\mathbf{p}\mathbf{l}\mathbf{e}$ $\mathbf{O}\mathbf{u}\mathbf{t}\mathbf{p}\mathbf{u}\mathbf{t}$

47

$\mathbf{H}\mathbf{i}\mathbf{n}\mathbf{t}\&\mathbf{E}\mathbf{x}\mathbf{p}\mathbf{l}\mathbf{a}\mathbf{i}\mathbf{n}$
第一次取30，此时分数为30，剩下两个数为8 15。
第二次取15，此时分数为45，剩下一个数为2。
第三次取2，此时分数为47，没有剩下的数。
总分数为47。

数据范围

对于$100\%$的数据满足：$1\le M\le N\le 2000,1\le a_i\le 10000,1\le b_i\le 500$。

解题思路

$dp$，还是$dp$。
先从简单的情况为切入点，即$n=m$，那么全部数字都要取完，所以我们只要先按照$b_i$从小到大的顺序排序，就能在$\Theta (n)$的时间内得到问题的答案。
如果问题进一步升级，即原题的要求，$n$可以不等于$m$，那我们该怎么做呢？
在前一个问题的做法中，我们可以设$f_i$为前$i$个数字可以得到的最大价值，从而得到答案。而在本题中，可以加一个维度$j$，代表前$j$轮可以得到的最大价值，那么$f_{i,j}$就代表前$i$个数字在前$j$轮可以得到的最大价值。由第一个问题的动态转移方程可以推出本题的动态转移方程：
$$f_{i,j}=\{\begin{array}{ll}0& j=0\\ \max (f_{i-1,j},f_{i-1,j-1}+a_i-b_i\times (j-1))& 1\le j\le i\end{array}$$
第一个式子为什么都不选的情况。
第二个式子中第一项为当前不擦该选项，第二项为擦除该选项。由于轮数的原因，在擦除时要减去之前每一轮都要减去的$b_i$的叠加，即$b_i\times (j-1)$。

注意：

1.由于在轮数一轮轮过去，数字可能变成负数，所以要把$f$里面的所有值赋值为一个极小数，如-0x7f7f7f7f。
2.要在执行动态转移方程前把每一项按照$b_i$从大到小的顺序排序。

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最后，祝大家早日

上代码

#include
#include
#include

using namespace std;

struct obj{
     
    obj(int a=0,int b=0):val(a),del(b){
     }
    int val,del;
};

obj               a[3010];
int               f[3010][3010];
int               n,m;

inline bool pd(obj x,obj y)
{
     
    return x.del>y.del;
}

int main()
{
     
    cin>>n>>m;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        cin>>a[i].val;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        cin>>a[i].del;
    sort(&a[1],&a[n+1],pd);
    memset(f,-0x7f,sizeof(f));
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
     
        f[i-1][0]=0;
        for(int j=1; j<=min(i,m); j++)
            f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-1]+a[i].val-(a[i].del*(j-1)));
    }
    cout<<f[n][m]<<endl;
    return 0;
}

完美切题$\sim$