【图像分割】最大类间方差法(otsu)图像分割

   由Otsu(大津展之)于1978年提出的最大类间方差法，是引起较多关注的一种阈值选取方法。它是在判决分析或最小二乘原理的基础上推导出来的。

参考文献：

[1] Otsu N. A threshold selection method from gray-level histogram. IEEE Trans,1979;SMC-9;62-66 下载地址

算法思想：

假设一幅图像有L个灰度级[1,2,…,L]。灰度级为i的像素点的个数为ni，那么总的像素点个数就应该为N=n1+n2+…+nL。为了讨论方便，我们使用归一化的灰度级直方图并且视为这幅图像的概率分布:

    现在假设我们通过一个灰度级为k的门限将这些像素点划分为两类:C0和C1(背景和目标,或者反之亦然)；C0表示灰度级为[1,…,k]的像素点，C1表示灰度级为[k+1,…,L]的像素点。那么，每一类出现的概率以及各类的平均灰度级分别由下面的式子给出：

以及

其中，

分别为灰度级从1到k的累积出现概率和平均灰度级(一阶累积矩)，而

是整幅图像的平均灰度级。我们可以很容易验证，对于任意选定的k，都有：

这两类的类内方差由下面的公式给出：

这需要二阶累积矩(second-order cumulative moment，统计学概念)。

    为了评价(灰度级k)这个门限“好”的程度，我们需要引入判别式分析中使用的判别式标准来测量(类的分离性测量)：

其中：

又根据式(9)，可以得出：

这三个式子分别是类内方差、类间方差和灰度级的总方差。然后，我们的问题就简化为一个优化问题，即寻找一个门限k使(12)式中给出的一个目标函数取最大值。

    这个观点是出于这样一个猜想，一个好的阈值将会把灰度级分为两类，那么反过来说，就是如果一个门限能够在灰度级上将图像分割为最好的两类的话，那么这个门限就是最好的门限。

    上面给出的判别式标准是分别求取λ、κ和η的最大值。然而，对于κ而言，它又等于另外一个，比如κ=λ+1；而对于λ而言，又有η=λ/(λ+1)，因为始终存在下面的基本关系：

  

```

clear close all clc

I=imread('rice.png');
[m,n]=size(I);
N=m*n;
L=256;

for i=1:L
count(i)=length(find(I==(i-1)));
f(i)=count(i)/(N); %每个灰度对应的概率，i=1,对应灰度值为0(i-1) end

for i=1:L
if count(i)~=0
st=i-1; %开始的灰度值 break;
end
end
for i=L:-1:1
if count(i)~=0
nd=i-1; %结束的灰度值 break;
end
end

p=st; q=nd-st+1;
u=0;
for i=1:q
u=u+f(p+i)*(p+i-1); %u是像素的平均值
ua(i)=u; %ua(i)是前i+p个像素的平均灰度值 (前p个无取值) end;

for i=1:q
w(i)=sum(f(1+p:i+p)); %w(i)是前i个像素的累加概率,对应公式中P0 end;

w=w+eps;
%对照sigmaB的公式写出目标函数。实际是遍历所有值 d=(w./(1-w)).*(ua./w-u).^2; [y,tp]=max(d); %可以取出数组的最大值及取最大值的点
th=tp+p;

figure;imshow(im2bw(I,th/255),[]); title('最大类间方差'); %% matlab自带函数 figure;imshow(im2bw(I,graythresh(I)),[]); title('matlab自带'); ```