算法设计与分析(Java实现)—— 动态规划 (0-1 背包问题)

1、动态规划算法介绍

  • 1)动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是:将大问题划分为小问题进行解决,从而一步步获取最优解的处理算法
  • 2)动态规划算法与分治算法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解。
  • 3)与分治法不同的是,适合于用动态规划求解的问题,经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上,进行进一步的求解 )
  • 4)动态规划可以通过填表的方式来逐步推进,得到最优解.

2、最佳实践-背包问题

算法设计与分析(Java实现)—— 动态规划 (0-1 背包问题)_第1张图片

3、思路

  • 1)背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品,如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分 0-1 背包和完全背包(完全背包指的是:每种物品都有无限件可用)
  • 2)这里的问题属于 01 背包,即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为 01 背包。
  • 3)算法的主要思想,利用动态规划来解决。
    每次遍历到的第 i 个物品,根据 w[i]和 v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。
    即对于给定的 n 个物品,设 v[i]、w[i]分别为第 i 个物品的价值和重量,C 为背包的容量。再令 v[i][j] 表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值。则我们有下面的结果

(1)v[i][0]=v[0][j]=0; //表示 填入表 第一行和第一列是 0

(2)当 w[i]> j 时:v[i][j]=v[i-1][j] // 当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时,就直接使用上一个单元格的装入策略

(3) 当 j>=w[i]时: v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}
// 当 准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量,
// 装入的方式:
v[i-1][j]: 就是上一个单元格的装入的最大值
v[i] : 表示当前商品的价值
v[i-1][j-w[i]] : 装入 i-1 商品,到剩余空间 j-w[i]的最大值当 j>=w[i]时: v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} :

PS这边得仔细看看 (2)(3),状态转移方程的所在

4、图解分析

算法设计与分析(Java实现)—— 动态规划 (0-1 背包问题)_第2张图片
解读:二维表中,每次到新的一行,每次往右移动一列,都是要进入状态转移方程进行决策,当新加入的物品重量没有超过背包容量,就先加入,后面加上剩余空间的最大价值与二维表的上一格进行比较,取较大值。经过这样子叠加决策,每次都是选择比较合理和正确的加入背包,最后完成。

5、伪代码

算法设计与分析(Java实现)—— 动态规划 (0-1 背包问题)_第3张图片
算法设计与分析(Java实现)—— 动态规划 (0-1 背包问题)_第4张图片
算法设计与分析(Java实现)—— 动态规划 (0-1 背包问题)_第5张图片

时间复杂度

算法设计与分析(Java实现)—— 动态规划 (0-1 背包问题)_第6张图片

6、Java代码实现动态规划0-1背包问题


public class KnapsackProblem {

    public static void main(String[] args) {
        int[] w = {1, 4, 3};//物品的重量
        int[] val = {1500, 3000, 2000}; //物品的价值 这里val[i] 就是前面讲的v[i]
        int m = 4; //背包的容量
        int n = val.length; //物品的个数



        //创建二维数组,
        //v[i][j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值
        int[][] v = new int[n+1][m+1];
        //为了记录放入商品的情况,我们定一个二维数组
        int[][] path = new int[n+1][m+1];

        //初始化第一行和第一列, 这里在本程序中,可以不去处理,因为默认就是0
        for(int i = 0; i < v.length; i++) {
            v[i][0] = 0; //将第一列设置为0
        }
        for(int i=0; i < v[0].length; i++) {
            v[0][i] = 0; //将第一行设置0
        }


        //根据前面得到公式来动态规划处理
        for(int i = 1; i < v.length; i++) { //不处理第一行 i是从1开始的
            for(int j=1; j < v[0].length; j++) {//不处理第一列, j是从1开始的
                //公式
                if(w[i-1]> j) { // 因为我们程序i 是从1开始的,因此原来公式中的 w[i] 修改成 w[i-1]
                    v[i][j]=v[i-1][j];
                } else {
                    //说明:
                    //因为我们的i 从1开始的, 因此公式需要调整成
                    //v[i][j]=Math.max(v[i-1][j], val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
                    //v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);
                    //为了记录商品存放到背包的情况,我们不能直接的使用上面的公式,需要使用if-else来体现公式
                    if(v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
                        v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
                        //把当前的情况记录到path 插眼
                        path[i][j] = 1;
                    } else {
                        v[i][j] = v[i - 1][j];
                    }

                }
            }
        }

        //输出一下v 看看目前的情况
        for(int i =0; i < v.length;i++) {
            for(int j = 0; j < v[i].length;j++) {
                System.out.print(v[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }

        System.out.println("============================");
        //输出最后我们是放入的哪些商品
        //遍历path, 这样输出会把所有的放入情况都得到, 其实我们只需要最后的放入

        // 回溯选择的商品
        int i = path.length - 1; //行的最大下标
        int j = path[0].length - 1;  //列的最大下标
        while(i > 0 && j > 0 ) { //从path的最后开始找
            if(path[i][j] == 1) {
                System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);
                j -= w[i-1]; //w[i-1]
            }
            i--;
        }

    }

}

效果

算法设计与分析(Java实现)—— 动态规划 (0-1 背包问题)_第7张图片

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