蒟蒻的ACM数据结构(一)-线段树

浅谈线段树的指针写法

    • 一、基本概念
    • 二、代码实现与基本操作
      • 0.基础数据结构
      • 1.建树 built函数
      • 2. 单点查询
      • 3.单点修改
      • 4.区间查询
      • 5.区间修改
    • 三.优化
      • (一). Lazy-Tag懒标记
        • 思想实现
        • 代码实现
          • 0.核心代码 pushdown
          • 1.树本体
          • 2.建树
          • 3.单点查询和单点修改无改变
          • 4.区间查询
          • 5.区间修改
      • (二). 离散化
      • (三).子树收缩
    • 数组实现
    • 练习题目

欢迎各大佬,大牛对本文指正,也希望本文能对各位有所帮助
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一、基本概念

  1. 线段树是一棵二叉搜索树,它储存的是一个区间的信息。
  2. 每个节点以结构体的方式存储,结构体包含以下几个信息:每个节点以结构体的方式存储,结构体包含以下几个信息:
  1. 区间左端点、右端点
  2. 区间所代表的值
  3. 该节点的子节点
  1. 线段树的基本思想:二分。
  2. 线段树一般结构如图所示:
    假设数据为4个数,则树应是这样蒟蒻的ACM数据结构(一)-线段树_第1张图片
  3. 由上图可知,每个节点的

每个节点的左孩子区间范围为[left,mid],右孩子为[mid+1,right]

二、代码实现与基本操作

0.基础数据结构

#ifndef NULL  //防报错
#define NULL 0
#endif
typedef struct Segment_Tree* Node;
struct Segment_Tree {
	int d;
	int left, right;
	Node lson, rson;
}*root;

1.建树 built函数

Node built(int left, int right)
    {
    	Node p = new(Segment_Tree);//Node p=(Node) malloc(sizeof(Segment_Tree));,c用法
    	//申请一个新内存,并令p指向该处
    	p->left = left; 	//储存区间信息
    	p->right = right;
    	if (left == right) {
    		p->d = a[left];  //scanf("%d",&p->d),cin>>p->d,皆可,及储存数据
    		p->lson = NULL;	//令左儿子和右儿子指向NULL
    		p->rson = NULL;
    	}
    	else {
    		int mid = (left + right) / 2;	//二分
    		p->lson = built(left, mid);	//左儿子
    		p->rson = built(mid + 1, right); //右儿子
    		p->d=p->lson->d+p->rson->d;  //存储左儿子和右儿子的和
    	} 
    	return p; //返回指向该处的指针
}

  除了建树,相应关闭树的函数为:

void close(Node p)
{
	if (p != NULL) {
		close(p->lson);
		close(p->rson);
		delete(p); //free(p);c用法
	}
	return;
}

非常需要注意的一件事,每次用指针建立树的时候,请务必写一个关闭清理申请的内存的函数

2. 单点查询

  (1).查找k位置的数据

int find(Node p, int k)
{
	if (p->left == p->right&&p->left == k)
		return p->d;
	int mid = (p->left + p->right) / 2;
	if (k <= mid)
		return find(p->lson, k);
	return find(p->rson, k);
}

3.单点修改

  (1).知道点所在位置,修改该点处值

int update(Node p, int x,int k)  //对x位置的值,进行k值的变动
{
	if (p->left == p->right&&p->left == x)  //如过找到了k位置
		return p->d +=k;   		//对该点值进行操作,可以为+-*/等
	int mid = (p->left + p->right) / 2; //判断该点在左区间还是右区间
	if (x <= mid)   //如果是左区间,只对左区间进行递归查询
		return p->d = update(p->lson, x, k)+p->rson->d;  //查找完后对父节点存储值进行修改
	return p->d = p->lson->d+update(p->rson, x, k); //不是该点,也不在左区间,只能是右区间
}

4.区间查询

蒟蒻的ACM数据结构(一)-线段树_第2张图片
  所给区间仅可能为上图四种情况。
  通过一定操作,我们都可以将上三种,全部转换为最后一种直接输出。
  闲话少说,代码实现

int find(Node p, int x,int y)  //注,这里假设任意x,y,都有x
{
	if (p->left == x && p->right == y)  //如果是第四种情况,直接返回
		return p->d;
	int mid = (p->left + p->right) / 2;   //求中间值
	if (y <= mid)   //如果查询区间在mid左边,因为x
		return find(p->lson, x, y); //那么直接递归左儿子
	if (x > mid)   //如果查询区间在mid右边,因为mid
		return find(p->rson, x, y);  //那么直接递归右儿子
	return find(p->lson, x, mid)+find(p->rson, mid + 1, y);  //两式都不符合,及x<=mid
							//则从mid为中间值分开
							//左儿子查询[x,mid],右儿子查询[mid+1,y]
}

5.区间修改

int update(Node p, int x, int y, int k)  //设区间为[x,y],修改的值为k
{
	if (p->left == p->right && p->left == x)  //如果是这个区间内的元素,就让它+k
		return p->d+=k;
	int mid = (p->left + p->right) / 2;  //二分
	if (y <= mid)   //如果区间在中值的左侧
		return p->d=update(p->lson, x, y,k)+p->rson->d;  //仅需更新左儿子的值,并更新父亲的值
	if (x > mid) //如果区间在中值的左侧
		return p->d=p->lson->d+update(p->rson, x, y,k); //同上
	return p->d=update(p->lson, x, mid,k) + update(p->rson, mid + 1, y,k); //如果区间被中值分开
}

三.优化

(一). Lazy-Tag懒标记

  我们考虑一下区间改值的过程:当更改某个区间的值的时候,子区间也跟着更改。显然,在大数据下,这样操作会导致TLE。
  怎么办?
  这时我们就引入一个优化方法,叫做Lazy-Tag懒标记。
  何为懒标记呢?顾名思义,就是用来偷懒的减少修改时消耗时间的。即:
  当我想要对某一区间的所有元素都+k时,在修改该区间节点时,对其打上标记lazy,并记lazy为k,修改该节点的值为+区间长度*k,立刻return,而不将该节点下面的所有子节点一一修改。

思想实现

  如图示:1~4的值分别为1,2,3,4
蒟蒻的ACM数据结构(一)-线段树_第3张图片
  我们选择对[1,2]区间进行修改,要求改区间所有值+2,则:在区间[1,2],打上标记lazy=2,并修改其值为3+(2-1+1)*2,直接返回,并不对其子节点进行修改
蒟蒻的ACM数据结构(一)-线段树_第4张图片
  当我们再次对[1,2]区间修改时,并要求区间内所有的值+1,则:由于[1,2]有标记lazy=2,于是我们将lazy标记向其子节点传导,并修改其子节点的值。再在[1,2]区间打上lazy=1,修改值为(2-1+1)*1,返回。
蒟蒻的ACM数据结构(一)-线段树_第5张图片

代码实现

0.核心代码 pushdown
void pushdown(Node p)
{
	if (p->lson != NULL) {  //如果该节点还有后续节点
		p->lson->lazy += p->lazy;  //令子节点lazy继承父节点lazy,下同
		p->lson->d += (p->lson->right - p->lson->left + 1)*p->lazy;  //修改子节点的值,下同
		p->rson->lazy += p->lazy;
		p->rson->d += (p->rson->right - p->rson->left + 1)*p->lazy;
	}
	p->lazy = 0; //令该节点的lazy清零
}
1.树本体
#ifndef NULL
#define NULL 0
#endif
typedef struct Segment_Tree* Node;
struct Segment_Tree {
	int d,lazy;   //仅仅多了一个lazy标记
	int left, right;
	Node lson, rson;
}*root;
2.建树
Node built(int left, int right)
{
	Node p = new(Segment_Tree);
	p->left = left;
	p->right = right;
	p->lazy = 0;  //只是对lazy标记进行初始化
	if (left == right) {
		p->d = a[left];
		p->lson = NULL;
		p->rson = NULL;
	}
	else {
		int mid = (left + right) / 2;
		p->lson = built(left, mid);
		p->rson = built(mid + 1, right);
		p->d = p->lson->d+p->rson->d;
	}
	return p;
}
void close(Node p)
{
	if (p != NULL) {
		close(p->lson);
		close(p->rson);
		delete(p); //free(p);c用法
	}
	return;
}
3.单点查询和单点修改无改变
4.区间查询
long long find(Node p, int x, int y)  //区间查询
{
	if (p->lazy != 0)  //解决一下历史遗留问题再查询
		pushdown(p);
	if (p->left == x && p->right == y)  //其他未变
		return p->d;
	int mid = (p->left + p->right) / 2;
	if (y <= mid)
		return find(p->lson, x, y);
	if (x > mid)
		return find(p->rson, x, y);
	return find(p->lson, x, mid)+find(p->rson, mid + 1, y);
}
5.区间修改
int update(Node p, int x, int y, int k)  //区间修改
{
	if (p->lazy!=0)    //如果该节点的lazy不为零,就处理一下
			pushdown(p);
	if (p->left == x && p->right==y) {   //如果是要进行修改的节点,便让该节点的lazy为k,并修改值
		p->lazy = k;
		return p->d += k*(y - x + 1);
	}
	int mid = (p->left + p->right) / 2;
	if (y <= mid)
		return p->d = p->rson->d+update(p->lson, x, y, k);
	if (x > mid)
		return p->d = p->lson->d+ update(p->rson, x, y, k);
	return p->d = update(p->lson, x, mid, k) + update(p->rson, mid + 1, y, k);
}

(二). 离散化

  蒟蒻还没学会嘤嘤嘤

  所谓离散化就是将无限的个体映射到有限的个体中,从而提高算法效率。
  举个简单的例子,一个实数数组,我想很快的得到某个数在整个数组里是第几大的,并且询问数很多,不允许每次都遍历数组进行比较。
  那么,最直观的想法就是对原数组先进行一个排序,询问的时候只需要通过二分查找就能在O( log(n))的时间内得出这个数是第几大的了,离散化就是做了这一步映射。  对于一个数组[1.6, 7.8, 5.5, 11.1111,99999, 5.5],离散化就是将原来的实数映射成整数(下标),如图所示:
  这样就可以将原来的实数保存在一个有序数组中,询问第K大的是什么称为正查,可以利用下标索引在O(1)的时间内得到答案;询问某个数是第几大的称为反查,可以利用二分查找或者Hash得到答案,复杂度取决于具体算法,一般为O(log(n))。
图五-1-1
--------------------- 作者:英雄哪里出来
来源:CSDN 原文:https://blog.csdn.net/WhereIsHeroFrom/article/details/78969718
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(三).子树收缩

  蒟蒻还没学会嘤嘤嘤

  子树收缩是子树继承的逆过程,子树继承是为了两棵子树获得父结点的信息;而子树收缩则是在回溯的时候,如果两棵子树拥有相同数据的时候在将数据传递给父结点,子树的数据清空,这样下次在访问的时候就可以减少访问的结点数。
--------------------- 作者:英雄哪里出来
来源:CSDN 原文:https://blog.csdn.net/WhereIsHeroFrom/article/details/78969718

数组实现

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#ifndef null
#define null -1
#endif
using namespace std;

const int MAXN = 1e5 + 10;
typedef long long ll;

struct Segment_Tree {
  ll d, lazy;
  int left, right;
  int lson, rson;
}root[4 * MAXN];
int n;

void built(int p, int left, int right)
{
  root[p].left = left;
  root[p].right = right;
  root[p].lazy = 0;
  if (left == right) {
  	cin >> root[p].d;
  	root[p].lson = root[p].rson = null;
  }
  else {
  	int mid = (left + right) >> 1;
  	built(root[p].lson = (p << 1), left, mid);
  	built(root[p].rson = (p << 1 | 1), mid + 1, right);
  	root[p].d = root[root[p].lson].d + root[root[p].rson].d;
  }
}

void pushdown(int p)
{
  if (root[p].lson != null) {
  	root[root[p].lson].lazy += root[p].lazy;
  	root[root[p].lson].d += (root[root[p].lson].right - root[root[p].lson].left + 1)*root[p].lazy;
  	root[root[p].rson].lazy += root[p].lazy;
  	root[root[p].rson].d += (root[root[p].rson].right - root[root[p].rson].left + 1)*root[p].lazy;
  }
  root[p].lazy = 0;
}

ll find(int p, int x, int y)
{
  if (root[p].lazy != 0)
  	pushdown(p);
  if (root[p].left == x && root[p].right == y)
  	return root[p].d;
  int mid = (root[p].left + root[p].right) >> 1;
  if (y <= mid)
  	return find(root[p].lson, x, y);
  if (x > mid)
  	return find(root[p].rson, x, y);
  return find(root[p].lson, x, mid) + find(root[p].rson, mid + 1, y);
}

long long update(int p, int x, int y, int k)  //区间
{
  if (root[p].lazy != 0)
  	pushdown(p);
  if (root[p].left == x && root[p].right == y) {
  	root[p].lazy = k;
  	return root[p].d += k * (y - x + 1);
  }
  int mid = (root[p].left + root[p].right) >> 1;
  if (y <= mid)
  	return root[p].d = root[root[p].rson].d + update(root[p].lson, x, y, k);
  if (x > mid)
  	return root[p].d = root[root[p].lson].d + update(root[p].rson, x, y, k);
  return root[p].d = update(root[p].lson, x, mid, k) +update(root[p].rson, mid+1, y, k);
}

int main()
{
  int m;
  cin >> n >> m;
  built(1, 1, n);
  for (int i = 0; i < m; i++) {
  	int t, x, y, k;
  	cin >> t;
  	if (t == 1) {
  		cin >> x >> y >> k;
  		update(1, x, y, k);
  	}
  	else {
  		cin >> x >> y;
  		cout << find(1, x, y) << endl;
  	}
  }
  return 0;
}

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