【OpenCV 完整例程】69. 连续非周期信号的傅立叶系数
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傅里叶变换
滤波通常是指对图像中特定频率的分量进行过滤或抑制。图像滤波是在尽可能保留图像细节特征的条件下对目标图像的噪声进行抑制，是常用的图像预处理操作。
图像滤波不仅可以在空间域进行还可以在频率域进行。空间滤波是图像与各种空间滤波器（模板、核）的卷积，而空间卷积的傅里叶变换是频率域中相应变换的乘积，因此频率域滤波是频率域滤波器（传递函数）与图像的傅里叶变换相乘。
频率域图像滤波，先将图像进行傅里叶变换，然后在变换域进行处理，最后进行傅里叶反变换转换回空间域。
空间域滤波器和频率域滤波器形成一个傅里叶变换对：
f ( x , y ) ⊗ h ( x , y ) ⇔ F ( u , v ) H ( u , v ) f ( x , y ) h ( x , y ) ⇔ F ( u , v ) ⊗ H ( u , v ) f(x,y) \otimes h(x,y) \Leftrightarrow F(u,v)H(u,v) \\ f(x,y) h(x,y) \Leftrightarrow F(u,v) \otimes H(u,v) f(x,y)⊗h(x,y)⇔F(u,v)H(u,v)f(x,y)h(x,y)⇔F(u,v)⊗H(u,v)
也就是说，空间域滤波器和频率域滤波器实际上是相互对应的，有些空间域滤波器在频率域通过傅里叶变换实现会更方便、更快速。例如，空间域的拉普拉斯滤波器就是频率域的高通滤波器。
2.1 傅里叶级数
傅里叶级数（Fourier series）在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
傅里叶级数公式指出，任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦函数和/或余弦函数的加权之和：
f ( t ) = A 0 + ∑ n = 1 ∞ A n s i n ( n ω t + ψ n ) = A 0 + ∑ n = 1 ∞ [ a n c o s ( n ω t ) + b n s i n ( n ω t ) ] \begin{aligned} f(t) &= A_0 + \sum^{\infty}_{n=1} A_n sin(n \omega t + \psi _n)\\ &= A_0 + \sum^{\infty}_{n=1} [a_n cos(n \omega t) + b_n sin(n \omega t)] \end{aligned} f(t)=A0+n=1∑∞Ansin(nωt+ψn)=A0+n=1∑∞[ancos(nωt)+bnsin(nωt)]
这个和就是傅里叶级数。
2.2 非周期函数的傅里叶级数
进一步地，任何非周期函数也可以表示为不同频率的正弦函数和/或余弦函数乘以加权函数的积分：
F ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − j ω t d t f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( ω ) e j ω t d ω \begin{aligned} F(\omega) &= \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt\\ f(t) &= \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d \omega \end{aligned} F(ω)f(t)=∫−∞+∞f(t)e−jωtdt=2π1∫−∞+∞F(ω)ejωtdω
这个公式就是傅里叶变换（Fourier transform ）和逆变换。
*傅里叶变换存在的充分条件是：f(t) 的绝对值的积分是有限的，在信号处理、图像处理领域这一条件都能满足。
例程 8.2：连续非周期信号的傅立叶系数
# 8.2：连续非周期信号的傅立叶系数
dx = 0.001
x = np.pi * np.arange(-1+dx, 1+dx, dx)
n = len(x)
nquart = int(np.floor(n/4))
f = np.zeros_like(x)
f[nquart: 2*nquart] = (4/n) * np.arange(1, nquart+1)
f[2*nquart: 3*nquart] = np.ones(nquart) - (4/n) * np.arange(0, nquart)
plt.figure(figsize=(9, 6))
plt.title("Fourier series of hat function")
plt.plot(x, f, '-', color='k',label="Original")
# Compute Fourier series
A0 = np.sum(f * np.ones_like(x)) * dx
fFS = A0 / 2
orders = 3
A = np.zeros(orders)
B = np.zeros(orders)
for k in range(orders):
A[k] = np.sum(f * np.cos(np.pi * (k+1) * x / np.pi)) * dx # Inner product
B[k] = np.sum(f * np.sin(np.pi * (k+1) * x / np.pi)) * dx
fFS = fFS + A[k] * np.cos((k + 1) * np.pi * x / np.pi) + B[k] * np.sin((k + 1) * np.pi * x / np.pi)
plt.plot(x, fFS, '-', label="{} order".format(k))
print('Line ', k, ': A = ', A[k], ' B = ', B[k], fFS.shape)
plt.legend(loc="upper right")
plt.show()
（本节完）
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Crated：2022-1-15
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