【OpenCV 完整例程】75. Numpy 实现图像傅里叶变换

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2.3 二维离散傅里叶变换（DFT）

对于二维图像处理，通常使用 $x,y$ 表示离散的空间域坐标变量，用 $u,v$ 表示离散的频率域变量。二维离散傅里叶变换（DFT）和反变换（IDFT）为：

$$\begin{array}{rl}F(u,v)& =\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi (ux/M+vy/N)}\\ f(x,y)& =\frac{1}{MN}\sum _{u=0}^{M-1}\sum _{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi (ux/M+vy/N)}\end{array}$$
二维离散傅里叶变换也可以用极坐标表示：
$$F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v)=|F(u,v)|e^{j\varphi (u,v)}$$
傅里叶频谱（Fourier spectrum）为：
$$|F(u,v)|=[R^2(u,v)+I^2(u,v){]}^{1/2}$$
傅里叶相位谱（Fourier phase spectrum）为：
$$\varphi (u,v)=arctan[I(u,v)/R(u,v)]$$
傅里叶功率谱（Fourier power spectrum）为：
$$P(u,v)=|F(u,v){|}^2=R^2(u,v)+I^2(u,v)$$

空间取样和频率间隔是相互对应的，频率域所对应的离散变量间的间隔为：$\Delta u=1/M\Delta T，\Delta v=1/N\Delta Z$。即：频域中样本之间的间隔，与空间样本之间的间隔及样本数量的乘积成反比。

空间域滤波器和频率域滤波器也是相互对应的，二维卷积定理是在空间域和频率域滤波之间建立等价关系的纽带：
$$(f\star h)(x,y)\iff (F\cdot H)(u,v)$$
这表明 F 和 H 分别是 f 和 h 的傅里叶变换；f 和 h 的空间卷积的傅里叶变换，是它们的变换的乘积。

因此，计算两个函数的空间卷积，可以直接在空间域计算，也可以在频率域计算：先计算每个函数的傅里叶变换，再对两个变换相乘，最后进行傅里叶反变换转换回空间域。

也就是说，空间域滤波器和频率域滤波器实际上是相互对应的，有些空间域滤波器在频率域通过傅里叶变换实现会更方便、更快速。

2.4 Numpy 实现图像傅里叶变换

Numpy 中的 np.fft.fft2() 函数可以实现图像的傅里叶变换 。

函数说明：

	numpy.fft.fft2(a, s=None, axes=(- 2, - 1), norm=None) → out

参数说明：

• a：输入数组，一维或多维数组，可以是复数形式
• s：输出数组的形状（每个变换轴的长度），对应于 fft(x,n) 中的 n，可选项
• out：输出数组，复数形式的一维或多维数组（complex ndarray）

注意事项：

1. 用于二维图像傅里叶变换时，输入数组 a 是 numpy 二维数组（灰度图像）或三维数组（彩色图像）。
2. 输出结果是复数形式 $(Real+j\ast Imag)$ 的数组，不能直接用于显示图像。为了显示傅里叶变换结果的图像，需要将数组的值调整到 [0,255] 的灰度空间内。

经过 np.fft.fft2() 函数实现傅里叶变换得到的图片频谱信息，幅度谱的最大值（低频分量）在左上角 (0,0) 处。为了便于观察，通常用 np.fft.fftshift() 函数将低频分量移动到频域图像的中心位置。

函数说明：

	numpy.fft.fftshift(x, axes=None) → y

参数说明：

• x：输入数组，一维或多维数组
• axes：整数，或输入数组形状的元组，用于指定移动的轴，可选项
• y：输出数组

例程 8.10：二维图像的离散傅里叶变换（Numpy）

    # 8.10：Numpy 实现二维离散傅里叶变换
    normalize = lambda x: (x - x.min()) / (x.max() - x.min() + 1e-6)
    imgGray = cv2.imread("../images/Fig0424a.tif", flags=0)  # flags=0 读取为灰度图像
    # imgGray = cv2.imread("../images/imgBall.png", flags=1)  # flags=0 读取为灰度图像

    # 傅里叶变换
    # fft = np.fft.fft2(imgGray.astype(np.float32))
    fft = np.fft.fft2(imgGray)  # np.fft.fft2 实现傅里叶变换

    # 非中心化，计算幅度谱和相位谱
    ampSpectrum = np.sqrt(np.power(fft.real, 2) + np.power(fft.imag, 2))  # 幅度谱
    print("ampSpectrum max={}, min={}".format(ampSpectrum.max(), ampSpectrum.min()))
    # phase = np.arctan2(fft.imag, fft.real)  # 计算相位角(弧度制)
    # phiSpectrum = phase / np.pi*180  # 将相位角转换为 [-180, 180]
    phiSpectrum = np.angle(fft)

    # 中心化，将低频分量移动到频域图像的中心
    fftShift = np.fft.fftshift(fft)  # 将低频分量移动到频域图像的中心
    # 中心化后的幅度谱
    ampSpeShift = np.sqrt(np.power(fftShift.real, 2) + np.power(fftShift.imag, 2))
    ampShiftNorm = np.uint8(normalize(ampSpeShift)*255)  # 归一化为 [0,255]
    # 幅度谱做对数变换
    ampSpeLog = np.log(1 + ampSpeShift)  # 幅度谱做对数变换以便于显示
    ampSpeLog = np.uint8(normalize(ampSpeLog)*255)  # 归一化为 [0,255]

    # np.fft.ifft2 实现图像的逆傅里叶变换
    invShift = np.fft.ifftshift(fftShift)  # 将低频逆转换回图像四角
    imgIfft = np.fft.ifft2(invShift)  # 逆傅里叶变换，返回值是复数数组
    imgRebuild = np.abs(imgIfft)  # 将复数数组调整至灰度空间

    plt.figure(figsize=(9, 6))
    plt.subplot(231), plt.title("Original image"), plt.axis('off')
    plt.imshow(imgGray, cmap='gray')
    plt.subplot(232), plt.title("FFT phase spectrum"), plt.axis('off')
    plt.imshow(phiSpectrum, cmap='gray')
    plt.subplot(233), plt.title("Rebuild image with IFFT"), plt.axis('off')
    plt.imshow(imgRebuild, cmap='gray')
    plt.subplot(234), plt.title("FFT amplitude spectrum"), plt.axis('off')
    plt.imshow(ampSpectrum, cmap='gray')
    plt.subplot(235), plt.title("FFT-shift amplitude"), plt.axis('off')
    plt.imshow(ampSpeShift, cmap='gray')
    plt.subplot(236), plt.title("Log-trans of FFT amp"), plt.axis('off')
    plt.imshow(ampSpeLog, cmap='gray')
    plt.tight_layout()
    plt.show()

程序说明：

图中未中心化的幅度谱（FFT amp spe）也并不是完全黑色，在图像的四角位置都有微小的亮区域，但是很难观察到，这也是对幅度谱进行中心化处理（fftShift）的原因。

（本节完）

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Crated：2022-1-20

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