【OpenCV 完整例程】76. OpenCV 实现图像傅里叶变换
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2.3 二维离散傅里叶变换（DFT）
对于二维图像处理，通常使用 x , y x, y x,y 表示离散的空间域坐标变量，用 u , v u,v u,v 表示离散的频率域变量。二维离散傅里叶变换（DFT）和反变换（IDFT）为：
F ( u , v ) = ∑ x = 0 M − 1 ∑ y = 0 N − 1 f ( x , y ) e − j 2 π ( u x / M + v y / N ) f ( x , y ) = 1 M N ∑ u = 0 M − 1 ∑ v = 0 N − 1 F ( u , v ) e j 2 π ( u x / M + v y / N ) \begin{aligned} F(u,v) &= \sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x,y) e^{-j 2\pi (ux/M+vy/N)}\\ f(x,y) &= \frac{1}{MN} \sum_{u=0}^{M-1} \sum_{v=0}^{N-1} F(u,v) e^{j 2\pi (ux/M+vy/N)} \end{aligned} F(u,v)f(x,y)=x=0∑M−1y=0∑N−1f(x,y)e−j2π(ux/M+vy/N)=MN1u=0∑M−1v=0∑N−1F(u,v)ej2π(ux/M+vy/N)
二维离散傅里叶变换也可以用极坐标表示：
F ( u , v ) = R ( u , v ) + j I ( u , v ) = ∣ F ( u , v ) ∣ e j ϕ ( u , v ) F(u,v) = R(u,v) + j I(u,v) = |F(u,v)| e^{j \phi (u,v)} F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v)=∣F(u,v)∣ejϕ(u,v)
傅里叶频谱（Fourier spectrum）为：
∣ F ( u , v ) ∣ = [ R 2 ( u , v ) + I 2 ( u , v ) ] 1 / 2 |F(u,v)| = [R^2(u,v) + I^2(u,v)]^{1/2} ∣F(u,v)∣=[R2(u,v)+I2(u,v)]1/2
傅里叶相位谱（Fourier phase spectrum）为：
ϕ ( u , v ) = a r c t a n [ I ( u , v ) / R ( u , v ) ] \phi (u,v) = arctan[I(u,v)/R(u,v)] ϕ(u,v)=arctan[I(u,v)/R(u,v)]
傅里叶功率谱（Fourier power spectrum）为：
P ( u , v ) = ∣ F ( u , v ) ∣ 2 = R 2 ( u , v ) + I 2 ( u , v ) P(u,v) = |F(u,v)|^2 = R^2(u,v) + I^2(u,v) P(u,v)=∣F(u,v)∣2=R2(u,v)+I2(u,v)
空间取样和频率间隔是相互对应的，频率域所对应的离散变量间的间隔为： Δ u = 1 / M Δ T ， Δ v = 1 / N Δ Z \Delta u = 1/M \Delta T，\Delta v = 1/N \Delta Z Δu=1/MΔT，Δv=1/NΔZ。即：频域中样本之间的间隔，与空间样本之间的间隔及样本数量的乘积成反比。
空间域滤波器和频率域滤波器也是相互对应的，二维卷积定理是在空间域和频率域滤波之间建立等价关系的纽带：
( f ⋆ h ) ( x , y ) ⇔ ( F ⋅ H ) ( u , v ) (f \star h)(x,y) \Leftrightarrow (F \cdot H)(u,v) (f⋆h)(x,y)⇔(F⋅H)(u,v)
这表明 F 和 H 分别是 f 和 h 的傅里叶变换；f 和 h 的空间卷积的傅里叶变换，是它们的变换的乘积。
2.5 OpenCV 实现图像傅里叶变换（cv.dft）
使用 OpenCV 中的 cv.dft() 函数也可以实现图像的傅里叶变换，cv.idft() 函数实现图像傅里叶逆变换。
函数说明：
cv.dft(src[, dst[, flags[, nonzeroRows]]]) → dst
cv.idft(src[, dst[, flags[, nonzeroRows]]]) → dst
参数说明：
- src：输入图像，单通道灰度图像，使用 np.float32 格式
- dst：输出图像，图像大小与 src 相同，数据类型由 flag 决定
- flag：转换标识符
- cv.DFT_INVERSE：用一维或二维逆变换取代默认的正向变换
- cv.DFT_SCALE：缩放比例标识，根据元素数量求出缩放结果，常与DFT_INVERSE搭配使用
- cv.DFT_ROWS: 对输入矩阵的每行进行正向或反向的傅里叶变换，常用于三维或高维变换等复杂操作
- cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT：对一维或二维实数数组进行正向变换，默认方法，结果是由 2个通道表示的复数阵列，第一通道是实数部分，第二通道是虚数部分
- cv.DFT_REAL_OUTPUT：对一维或二维复数数组进行逆变换，结果通常是一个尺寸相同的复数矩阵
注意事项：
- 输入图像 src 是 np.float32 格式，如图像使用 np.uint8 格式则必须先转换 np.float32 格式。
- 默认方法 cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT 时，输入 src 是 np.float32 格式的单通道二维数组，输出 dst 是 2个通道的二维数组，第一通道 dft[:,:,0] 是实数部分，第二通道 dft[:,:,1] 是虚数部分。
- 不能直接用于显示图像。可以使用 cv.magnitude() 函数将傅里叶变换的结果转换到灰度 [0,255]。
- idft(src, dst, flags) 等价于 dft(src, dst, flags=DFT_INVERSE)。
- OpenCV 实现傅里叶变换，计算速度比 Numpy 更快。
转换标识符为 cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT 时，cv.dft() 函数的输出是 2个通道的二维数组，使用 cv.magnitude() 函数可以实现计算二维矢量的幅值 。
函数说明：
cv.magnitude(x, y[, magnitude]) → dst
参数说明：
- x：一维或多维数组，也表示复数的实部，浮点型
- y：一维或多维数组，也表示复数的虚部，浮点型，数组大小必须与 x 相同
- dst：输出数组，数组大小和数据类型与 x 相同，运算公式为：
d s t ( I ) = x ( I ) 2 + y ( I ) 2 dst(I) = \sqrt{x(I)^2 + y(I)^2} dst(I)=x(I)2+y(I)2
傅里叶变换及相关操作的取值范围可能不适于图像显示，需要进行归一化处理。 OpenCV 中的 cv.normalize() 函数可以实现图像的归一化。
函数说明：
cv.normalize(src, dst[, alpha[, beta[, norm_type[, dtype[, mask]]]]]) → dst
参数说明：
- src：输入图像
- dst：输出结果，与输入图像同尺寸同类型
- alpha：归一化后的最小值，可选项，默认值为0
- beta：归一化后的最大值，可选项，默认值为1
- norm_type：归一化类型
- NORM_INF：Linf 范数（绝对值的最大值）
- NORM_L1：L1 范数（绝对值的和）
- NORM_L2：L2 范数（欧几里德距离），默认类型
- NORM_MINMAX：线性缩放，常用类型
- dtype：可选项，默认值 -1，表示输出矩阵与输入图像类型相同
- mask：掩模遮罩，可选项，默认无遮罩
傅里叶变换在理论上需要 O ( M N ) 2 O(MN)^2 O(MN)2 次运算，非常耗时；快速傅里叶变换只需要 O ( M N l o g ( M N ) ) O(MN log (MN)) O(MNlog(MN)) 次运算就可以完成。
OpenCV 中的傅里叶变换函数 cv.dft() 对于行数和列数都可以分解为 2 p ∗ 3 q ∗ 5 r 2^p * 3^q * 5^r 2p∗3q∗5r 的矩阵的计算性能最好。为了提高运算性能，可以对原矩阵的右侧和下方补 0，以满足该分解条件。OpenCV 中的 cv.getOptimalDFTSize() 函数可以实现图像的最优 DFT 尺寸扩充，适用于 cv.dft() 和 np.fft.fft2()。
函数说明：
cv.getOptimalDFTSize(versize) → retval
参数说明：
- versize：数组大小
- retval：DFT 扩充的最优数组大小
例程 8.11：二维图像的离散傅里叶变换（OpenCV）
# 8.11：OpenCV 实现二维图像的离散傅里叶变换
imgGray = cv2.imread("../images/Fig0424a.tif", flags=0) # flags=0 读取为灰度图像
# cv2.dft 实现图像的傅里叶变换
imgFloat32 = np.float32(imgGray) # 将图像转换成 float32
dft = cv2.dft(imgFloat32, flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) # 傅里叶变换
dftShift = np.fft.fftshift(dft) # 将低频分量移动到频域图像的中心
# 幅度谱
# ampSpe = np.sqrt(np.power(dft[:,:,0], 2) + np.power(dftShift[:,:,1], 2))
dftAmp = cv2.magnitude(dft[:,:,0], dft[:,:,1]) # 幅度谱，未中心化
dftShiftAmp = cv2.magnitude(dftShift[:,:,0], dftShift[:,:,1]) # 幅度谱，中心化
dftAmpLog = np.log(1 + dftShiftAmp) # 幅度谱对数变换，以便于显示
# 相位谱
phase = np.arctan2(dftShift[:,:,1], dftShift[:,:,0]) # 计算相位角(弧度制)
dftPhi = phase / np.pi*180 # 将相位角转换为 [-180, 180]
print("dftMag max={}, min={}".format(dftAmp.max(), dftAmp.min()))
print("dftPhi max={}, min={}".format(dftPhi.max(), dftPhi.min()))
print("dftAmpLog max={}, min={}".format(dftAmpLog.max(), dftAmpLog.min()))
# cv2.idft 实现图像的逆傅里叶变换
invShift = np.fft.ifftshift(dftShift) # 将低频逆转换回图像四角
imgIdft = cv2.idft(invShift) # 逆傅里叶变换
imgRebuild = cv2.magnitude(imgIdft[:,:,0], imgIdft[:,:,1]) # 重建图像
plt.figure(figsize=(9, 6))
plt.subplot(231), plt.title("Original image"), plt.axis('off')
plt.imshow(imgGray, cmap='gray')
plt.subplot(232), plt.title("DFT Phase"), plt.axis('off')
plt.imshow(dftPhi, cmap='gray')
plt.subplot(233), plt.title("Rebuild image with IDFT"), plt.axis('off')
plt.imshow(imgRebuild, cmap='gray')
plt.subplot(234), plt.title("DFT amplitude spectrum"), plt.axis('off')
plt.imshow(dftAmp, cmap='gray')
plt.subplot(235), plt.title("DFT-shift amplitude"), plt.axis('off')
plt.imshow(dftShiftAmp, cmap='gray')
plt.subplot(236), plt.title("Log-trans of DFT amp"), plt.axis('off')
plt.imshow(dftAmpLog, cmap='gray')
plt.tight_layout()
plt.show()
（本节完）
版权声明：
youcans@xupt 原创作品，转载必须标注原文链接
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Crated：2022-1-20
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