矩阵分析学习笔记（五）-矩阵的分解

QR分解

设是阶可逆方阵，则存在阶正交矩阵和可逆上三角阵，使得，称为矩阵的分解。

证明：将矩阵按列分块为

由可逆，知线性无关，用归纳法选取

即

由施密特(Schmidt)正交化定理知两两正交。

再取

（单位化）

则是两两正交的单位向量，

则有
$A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n) \begin{bmatrix} 1 & b_{12} & b_{13} & \cdots & b_{1n} \\ & 1 & b_{23} & \cdots & b_{2n} \\ && \ddots & \vdots & \vdots \\ &&& b_{n-1,n} & 1 \\ &&&& 1 \end{bmatrix}$

$=(\delta_1,\delta_2,\cdots,\delta_n) \begin{bmatrix} \Vert\beta_1\Vert \\ & \Vert\beta_2\Vert \\ && \ddots \\ &&& \Vert\beta_n\Vert \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & b_{12} & b_{13} & \cdots & b_{1n} \\ & 1 & b_{23} & \cdots & b_{2n} \\ && \ddots & \vdots & \vdots \\ &&& b_{n-1,n} & 1 \\ &&&& 1 \end{bmatrix}$
其中

令
$Q=(\delta_1,\delta_2,\cdots,\delta_n),R= \begin{bmatrix} \Vert\beta_1\Vert \\ & \Vert\beta_2\Vert \\ && \ddots \\ &&& \Vert\beta_n\Vert \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & b_{12} & b_{13} & \cdots & b_{1n} \\ & 1 & b_{23} & \cdots & b_{2n} \\ && \ddots & \vdots & \vdots \\ &&& b_{n-1,n} & 1 \\ &&&& 1 \end{bmatrix}$
则有.

并且，因为阶方阵的列向量组是的一个标准正交基，所以为正交矩阵；因为矩阵是可逆对角阵与可逆上三角阵之积，故是可逆上三角阵。

例：求矩阵的分解，其中 .

解：将矩阵按列分块为,即

按照施密特正交化方法，得

$\beta_3=\alpha_3-\frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 -\frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2= \alpha_3-\beta_1+\frac{4}{7}\beta_2=\frac{1}{7} \begin{bmatrix} -1 \\ 4 \\-2 \end{bmatrix},即\alpha_3=\beta_1-\frac{4}{7}\beta_2+\beta_3$

将上述结果写成矩阵形式：
$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(\beta_1,\beta_2,\beta_3) \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -\frac{4}{7}\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 & -2 & -\frac{1}{7}\\ 1 & 1 & \frac{4}{7}\\ 1 & 3 & -\frac{2}{7} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -\frac{4}{7}\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} \frac{2}{\sqrt6} & -\frac{2}{\sqrt{14}} & -\frac{1}{\sqrt{21}}\\ \frac{1}{\sqrt6} & \frac{1}{\sqrt{14}} & \frac{4}{\sqrt{21}}\\ \frac{1}{\sqrt6} & \frac{3}{\sqrt{14}} & -\frac{2}{\sqrt{21}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sqrt6 \\ & \sqrt{14} \\ && \frac{\sqrt{21}}{7} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ & 1 &-\frac{4}{7} \\ && 1 \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} \frac{2}{\sqrt6} & -\frac{2}{\sqrt{14}} & -\frac{1}{\sqrt{21}}\\ \frac{1}{\sqrt6} & \frac{1}{\sqrt{14}} & \frac{4}{\sqrt{21}}\\ \frac{1}{\sqrt6} & \frac{3}{\sqrt{14}} & -\frac{2}{\sqrt{21}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sqrt6 & 0 & \sqrt6\\ 0 & \sqrt{14} & -\frac{4\sqrt{14}}{7}\\ 0 & 0 & \frac{\sqrt{21}}{7} \end{bmatrix}\triangleq QR$

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